Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Свойства условной вероятности.

Условная вероятность – это такая вероятность при которой наступление события А повышает шансы наступления события В.

Пусть А и В – два случайных события по отношению к некоторому опыту, причем Р (В) ≠ 0, тогда условной вероятностью события А при условии, что В уже наступила, наз-ся отношение вероятности их совместного наступления к вероятности ихи совместного наступления к вероятности самого условия: Р_В (А) =  = Р(А/В), Р(В) > 0

Пусть опыт проводиться N раз:

· N_В – число опытов, в которых наступило событие В;

· N_АВ – число опытов в которых А и В наступили одновременно

Тогда (A) – называется частотой появления события А при условии В или условной частотой события А.

Условная вероятность – число, около которого колеблется условная частота, в больших сериях опытов.

Свойства условной вероятности:

1) В ⊂ А, Р_В (А) =  =  = 1;

2) Р_В (Ω) =  =  = 1;

3) Р_В ( ) =  =  = 0;

4) А₁ * А₂ = Ø, Р_В (А₁ + А₂) = Р_В (А₁) + Р_В (А₂);

5) А – случайное событие, Ā – ему противоположное, тогда Р_В (А + Ā) 4 Р_В (А) + Р_В (Ā) = 1.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равно произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: Р (АВ) = Р(А)Р(В/А), Р (АВ) = Р (В)Р(А/В).

Событие В не зависит от события А, если Р (В/А) = Р(В), т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А. Это свойство является взаимным. Если А и В независимы, то независимы и Ā и В, А и , Ā и .

 

6.Независимость событий. Вероятность появления хотя бы одного собы­тия. Теорема сложения для производных (док-ва)

Событие называется независимым, если появление одного из них не изменяет вероятности другого события.

Пусть А и В некоторые случайное событие. Если А не зависит от В, то справедливо равенство: Р_В (А) = Р (А) (*), Р (В) = 0

Теорема1: если событие А и В являются независимыми, то независимыми буду так же следующие пары: (Ā; В), (А; ), (Ā, ).

Теорема2: если А и В независимы, то справедливо равенство: Р (АВ) = Р(А)Р(В).

Равенство (*) в дальнейшем было положено в основу определения независимых событий, т.е. в них отсутствуют ограничения Р (В) ≠ 0. Понятие независимости является симметричным.

Определение: пусть заданы n случайных событий, тогда А₁, А₂,… А_n наз-ся независимыми совокупностями, если наступление одного из них не изменяет шансы наступления всех остальных из этой совокупности: Р (А₁ * А₂ * …* А_n) = Р (А₁) * Р (А₂ * … *А_n) = … = Р (А₁) * Р (А₂) * … * Р (А_n).

Последнее равенство называется теоремой умножения для n независимых событий. Кроме этого последнее неравенство является необходимым и достаточным условием независимости n случайных событий.

Пусть даны три события6 А, В, С. Независимость в совокупности понимается так:

Р (АВС) = Р (А)Р (В)Р (С)

Очевидно, что из попарной независимости событий не следует их независимость совокупности, а обратном направлении это утверждение работает.

Теорема сложения: пусть задано вероятное пространство. Для любых событий А и В из алгебры F вероятность их суммы = сумме их вероятностей без вероятности их совместимого наступления: P (А+ В) = P (А)+P (В) - P (А _* В)

Доказательство:

 - Ω,  - А,  - В,

 - А* В,  - В * Ā.

P (А+ В) = P (А+ В Ā) =  А3 P (А) + Р (В Ā)

P (В) = P (А * В+ В Ā) =  А3 P (АВ) + Р (В Ā)

Р (А=В) – Р (В) = Р (А) – Р (АВ) А3 Р (А) + Р (В Ā)

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: