Распределение Пуассона. Числовые характеристики случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

В одинаковых условиях производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р или событие Ā с вероятностью q (q = 1 – p). Вероятность того, что при n испытаниях событие А появиться k раз (и не появиться n-k раз) определяется формулой Бернулли: Р (А) = P_n (k) =  * p^k * q^n-k.

Рассмотрим случай, когда n является достаточно большим, а р – достаточно малым; положим np = a, где а – некоторое число.

Распределением Пуассона наз-ся распределение вероятностей дискретной случайной величины, определяемое формулой: Р_n (k) = .

Постоянную а = np, входящую в формулу Р_n (k) = , наз-ют параметром распределения Пуассона.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассону, равна числу а – параметру этого распределения.

Дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равно числу а – параметру этого распределения, т.е.

15.Схема Бернулли . Локальная теорема Муавра-Лапласа. Фун-ия ф(х) и ее св-ва.

Пусть в некотором опыте наступает или нет событие А, тогда вероятностная схема опыта имеет вид: А + Ā = Ω (р +q = 1)

Пусть этот опыт произведен три раза. Тогда Ω состоит из любых строк длиной 3: (А, А, А), (Ā, А, А), (А, Ā, А),…, (Ā, Ā, Ā)

Важно, что опыт производится в неизменных условиях. Это условие в реальности соблюсти невозможно, поэтому его заменяют понятием независимости, рассматриваемых событий.

Построим вероятностную схему опыта: p*p*p = p³, q*p*p = q*p², p*q*p = q*p²,…,q³.

В общем виде схема выглядит так: p^k * q^l , l – число неудач, k – число успехов.

Такие вероятностные схемы наз-ся схемами Бернулли.

Локальная теорема о вероятностях была доказана впервые Муаврам для случая, когда p = q = ½.

Локальная теорема Муавра-Лапласа: если вероятность наступления некоторого события А в n независимых опытах постоянна и = р(1>р>0), то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит равно m раз, определяется соотношением:

, где х = .

Введем обозначения φ(х) = , тогда локальная формула Лапласа примет вид: Рn (m) ≈  φ(х)

Свойства: Значение φ(х) – табулирована и очевидно, что эта функция является четной, при больших значениях x имеем: φ(x) ≈ 0.

 

 

16.Схема Бернулли. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Фун-ия Ф(х), ее св-ва.

Пусть в некотором опыте наступает или нет событие А, тогда вероятностная схема опыта имеет вид: А + Ā = Ω (р +q = 1)

Пусть этот опыт произведен три раза. Тогда Ω состоит из любых строк длиной 3: (А, А, А), (Ā, А, А), (А, Ā, А),…, (Ā, Ā, Ā)

Важно, что опыт производится в неизменных условиях. Это условие в реальности соблюсти невозможно, поэтому его заменяют понятием независимости, рассматриваемых событий.

Построим вероятностную схему опыта: p*p*p = p³, q*p*p = q*p², p*q*p = q*p²,…,q³.

В общем виде схема выглядит так: p^k * q^l , l – число неудач, k – число успехов.

Такие вероятностные схемы наз-ся схемами Бернулли.

Интегральная схема Лапласа: если вероятность наступления некоторого события А в n независимых опытах постоянна и р = (1>р>0), то число наступления события А в n опытах (число успехов) окажется заключенным м/у заданными границами k₁ и k₂ в случаях если справедлива формула: Р_n (k₁<m< k₂) ≈ , a = , b = .

Ведем обозначения: φ(х) =  – функция Лапласа.

1) φ(-х) = -φ(х) – функция нечетная;

2) при возрастании аргумента функции до ∞, функция возрастает до L =  =  = ½ .

3) Значение функции Лапласа табулированы.

4) При больших х верно: Ф(х) ≈ 0,5

 

17.Равномерное распределение, функция распределения и числовые ха­рактеристики случайной величины, распределенной равномерно.

Распределение вероятностей случайной величины Х называется равномерным на отрезке [ ], если плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равна нулю вне этого отрезка:

С равномерным распределением встречаются всякий раз, когда по условиям опыта Х принимает значения на конечном промежутке [α, β]. Все значения из этого промежутка возможны в одинаковой степени, причем ни одно из значений не имеет преимуществ перед другим.

Функция распределения

Функцией распределения случайной величины Х называется функция действительной переменной х, определяемая равенством

F(x) = Р(Х < х),

где Р(Х< х) - вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х. 

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке, есть середина этого отрезка и  соответственно равны:

18.Показательное распределение, функция распределения и числовые ха­рактеристики случайной величины, распределенной по показательному закону.

Показательным распределением н-ся распределение с плотностью вероятностей, определяемой функцией:

Функция распределения

Функцией распределения случайной величины Х называется функция действительной переменной х, определяемая равенством: F(x) = Р(Х < х),

где Р(Х< х) - вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х. 

Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий – последовательность событий, наступающих один за другим в случайные моменты.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, равно обратной величине параметра α:

МО и среднее квадратичное отклонение показательного распределения равны м/у собой.

 

19.Нормальное распределение. Математическое ожидание нормально рас­пределенной случайной величины.

Нормальным распределением, или распределением Гаусса, н-ся распределение с плотностью вероятностей:

 > 0, где . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

Математическое ожидание нормального распределения равно параметру а:

Среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру σ:

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: