Непрерывная случайная величина. Плотность распределения. Функция распределения.

Функцией распределения случайной величины X наз-ся действительной переменной x, определяемая равенством F (x) = Р (X < x), где Р (X < x), - вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

Случайная величина наз-ся непрерывной, если функция распределения F (x) = Р (X < x) является непрерывно дифференцируемой.

Плотность распределения вероятностей случайной величины Х в точке х наз-ся предел отношения вероятностей попадания значений этой величины в интервал (х, х + ∆х) к длине ∆х отрезка [х, х + ∆х], когда последняя стремиться к нулю: р (х) =

График функции р (х) (плотность распределения) наз-ся кривой распределения.

Интеграл функции р (х) по промежутку (-∞, х) равен значению функции распределения F (х) для верхнего придела интегрирования, т.е.  = F (х).

Вероятность попадания значения случайной величины Х в интервал (α, β) равна предельному интегралу от плотности распределения р (х) по отрезку [α, β], т.е. Р (α < Х < β) = .

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. Плотность распределения р (х) – не отрицательная функция, т.е. р(х) ≥ 0.

2. В точках дифференцируемости функции распределения F (х) ее производная равна плотности распределения: F’ (х) = р (х) (производная интегральной функции равна дифференциальной функции)

3. Интеграл по бесконечному промежутку (-∞, +∞) от плоскости распределения р (х) равен единице:  = 1

Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [α, β], то  = 1, так как р (х) = 0 вне этого отрезка.

 

10.Числовые характеристики дискретных случайных величин. Их свойст­ва. Мат. ожидания и его свойства.

Случайные величины принимают различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, наз-ся дискретной случайной величиной.

Числа, описывающие случайную величину суммарно наз-ся числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины наз-ют сумму произведенных всех ее возможных значений на их вероятности.

Математические ожидания дискретной случайной величины Х, принимающей конечное множество значений с законом распределения P (X = x_k) = p_k, (k = 1, 2,…n),  = 1, называется сумма произведений ее значений на их соответствующие вероятности: М (Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_nр_n, М (Х) = .

Математические ожидания дискретной случайной величины приближенно равно среднему арифметическому всех ее возможных значений. Вследствие этого математическое ожидание случайной величины наз-ют средним значением.

Математическое ожидание ДСВ, принимающей бесконечную последовательность значений с законом распределения Р (Х = х_k) = р_k, k = 1, 2, 3,…, , определяется формулой М (Х) = , если этот рад сходится абсолютно.

Свойства:

1) МО постоянной величины равно самой постоянной: М (С) = С;

2) Постоянный множитель можно выносить за знак МО: М (СХ) = СМ (Х);

3) МО произведения независимых случайных величин равно произведению их МО: М (ХY) = М (Х) М(Y);

4) МО суммы двух случайных величин равно сумме МО слагаемых: M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Дисперсией (рассеянием) дискретной СВ наз-ют МО квадрата отклонения СВ от ее МО: .

 

11.Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Их свой­ства.

Случайная величина наз-ся непрерывной, если функция распределения F (x) = Р (X < x) является непрерывно дифференцируемой.

Распространим определение числовых хар-ик дискретных величин на величины непрерывные. Начнем с МО.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат бесконечному промежутку (-∞, +∞), а р (х) – не плотность вероятностей, то мат. ожидание определяется формулой М (Х) = , когда этот несобственный интеграл сходится абсолютно.

Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная.

Свойства:

1) Значение МОСВ Х заключено м/у ее наименьшими и наибольшими значениями: a ≤ Ь (Х) ≤ b, где a – наименьшее, b – наибольшее значение величины Х.

2) МО постоянной величины равно этой постоянной М (С) = С, (С = const).

3) Постоянный множитель можно вынести за знак МО: М (СХ) = СМ (Х), (С = const).

4) МО суммы двух случайных величин равно сумме их МО: М (Х + Y) = М (Х) + М (Y). Это равенство распространяется на n случайных величин: M (X₁ + X₂ + …+ X_n) = M (X₁) + М (X₂) + …+ М (X_n).

5) МО разности двух случайных величин равно разности их МО: М (Х - Y) = М (Х) - М (Y).

6) МО произведение двух независимых случайных величин равно произведению МО этих величин: М (Х * Y) = М (Х) * М (Y). Это равенство распространяется на n независимых случайных величин: M (X₁ * X₂ * …* X_n) = M (X₁) * М (X₂) * …* М (X_n).

Дисперсией непрерывнойСВ наз-ют МО квадрата ее отклонения.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной СВ определяется, как и для величины дискретной, равенством .

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: