Пространство элементарных событий. Случайные события. Алгебра событий

Пусть в эксперименте со случайным исходом указаны все элементарные исходы, удовлетворяющие следующему требованию: в результате эксперимента непременно происходит один и только один из этих исходов. Каждый такой исход называется элементарным событием и обозначается буквой ω. По смыслу элементарные события неразложимы на более простые. Множество всех элементарных событий называют пространством элементарных событий Ω. Таким образом, по определению Ω={ω}.

Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей называют случайным событием. Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т. д. Случайное событие А полностью характеризуется совокупностью элементарных событий , которые влекут А. Говорят, что событие А произошло, если опыт закончился одним из элементарных исходов, входящих в событие А.

Произвольное множество А точек  можно рассматривать как событие А, которое происходит или не происходит в зависимости от того, принадлежит или нет множеству А элементарное событие ω, представляющее данный исход эксперимента. Таким образом, случайным событием А называют произвольное подмножество пространства элементарных событий Ω, состоящее из точек , представляющих те элементарные события ω, при которых происходит А. Поэтому в дальнейшем не делается различий между случайным событием А и соответствующим подмножеством .

Пространство элементарных событий Ω в зависимости от числа элементарных событий в нем может быть конечным или бесконечным; в последнем случае – счетным или несчетным.

Пример 1.1.1. В случае однократного подбрасывания монеты пространство элементарных событий Ω представляет собой множество, состоящее из двух элементов: Ω={ω₁,ω₂}, где ω₁ – выпадение герба, ω₂ – выпадение решки.

Пример 1.1.2. В случае однократного бросания игральной кости пространство элементарных событий Ω представляет собой множество, состоящее из шести элементов: Ω={ω₁,ω₂,ω₃,ω₄,ω₅,ω₆}, где ω₁ – выпадение грани с «1»; ω₂ – выпадение грани с «2»; ω₃ – выпадение грани с «3»; ω₄ – выпадение грани с «4»; ω₅ – выпадение грани с «5»; ω₆ – выпадение грани с «6».

Примеры случайных событий: А – выпадение герба при однократном бросании монеты; В – выпадение четной цифры при однократном бросании игральной кости; С – выигрыш, выпавший на определенный билет лотереи; D – победа определенного кандидата  на выборах; Е – падение курса акций на биржевом рынке.

Рассмотрим операции над случайными событиями и их теоретико-множественые аналоги.

Если случайное событие А происходит всякий раз, когда происходит событие В, будем говорить, что событие А является следствием В, и обозначать . Естественно, это означает, что любая точка  содержится и в А, т. е. .

Как и в теории множеств, из  и  следует А=В. Событие  называют событием, противоположным событию А; оно происходит, если не происходит А.

Если событие А не содержит ни одного элементарного события, оно называется невозможным и обозначается Ø; Ø – естественно является пустым подмножеством Ω .

Событие, противоположное невозможному событию Ø, называется достоверным событием; оно обозначается Ω и происходит всякий раз (при определенном комплексе условий).

Событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходят события А и В, называется произведением и обозначается АВ или .

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти вместе, т.е. Ø.

Суммой событий А и В называется событие С, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий А или В; обозначают сумму  или А+В (для несовместных случайных событий).

Операции сложения и умножения случайных событий, естественно, можно обобщить на случай произвольного числа событий (аналогично операциям объединения и пересечения в теории множеств):  или  для суммы и  и  для произведения.

Операции сложения и умножения случайных событий обладают следующими свойствами:

1) коммутативность, т.е.  и АВ=ВА;

2) ассоциативность, т.е.  и (АВ)С=А(ВС);

3) дистрибутивность, т.е. .

 

Легко видеть, что событие  противоположно событию АВ. Действительно, наступление хотя бы одного из событий и  равносильно ненаступлению АВ, т.е.

                                                 .                                              (1.1.1)

И вообще, для любого множества событий A_s, ,

                                             .                                          (1.1.2)

С другой стороны, событие противоположно событию , так как совместное наступление событий  и  равносильно ненаступлению . Поэтому

                                                                                                 (1.1.3)

И вообще, для любого множества событий , ,

                                                                               _.                                                                          (1.1.4)

Формулы (1.1.1) – (1.1.4) выражают принцип двойственности для случайных событий.

Разностью событий А\В называется случайное событие, которое происходит, если происходит событие А и не происходит В.

Пусть множество всех возможных событий F удовлетворяет следующим двум условиям:

1) для любой пары событий А,  имеет место включение ;

2) для любого события  имеет место включение .

Отсюда, а также из принципа двойственности, следует, что  и  .

Класс F случайных событий, удовлетворяющих условиям 1 и 2, называется алгеброй событий.

F состоит из всех подмножеств Ω. В случае, если Ω конечно и содержит n элементарных событий, F содержит 2ⁿ событий.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: