Дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона.

Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

 

Это свойство распределения Пуассона часто применяют на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против подобной гипотезы.

 

_{1.Определение случайной величины и связанных с ней понятий: распределения и функции распределения. Случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевскойσ-алгебры на .}

_{Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом. Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел и множество событий , таких что , принадлежит .}

_{Пусть дано вероятностноепространство , и на нём определена случайнаявеличина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой:}

_.

_{То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины называют функцию , значение которой в точке равно вероятности события , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .}

_{2.Дискретные случайные величины, законы распределения, примеры (распределение Бернулли, биномиальное распределение, распределение Пуассона).}

_{Если случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функциейвероятности}

_,

_{то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:}

_.

_{Эта функция непрерывна во всех точках , таких что , и имеет разрыв первого рода в точках .}

_{Закон распределения вероятностей р(m)определяется формулой Бернулли:}

_{.Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома .
Пусть случайная величина может принимать любое целое неотрицательное значение, причем}

. Распределение Пуассона , k =0, 1, 2,..     3. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. * 1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной. Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. Доказательство. Используя соотношение, имеем 3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: 4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **: 4. Математическое ожидание дискретной случайной величины, имеющей распределение Бернулли, биномиальное распределение, распределение Пуассона. Биномиальное распределение (распределение Бернулли) Возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях. P(X= k) = , где k=0,1,…n Формулу называют формулой Бернулли. При большом числе испытаний биномиальное распределение стремиться к нормальному.Распределение Пуассона Играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности,теории массового обслуживания и т.д. P(Z=k) = 5. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины, свойства дисперсии.Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:D(X) = (x1 - M(X))2p1 + (x2 - M(X))2p2 + ... + (xn- M(X))2pn = x21p1 + x22p2 + ... + x2npn - [M(X)]2. Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С2 · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х1 ± Х2 ± ... ± Хn) = D(Х1) + D(Х2) + ... + D(Хn) Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное продолжение 5. отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X). 6. Определение независимых случайных величин. Математическое ожидание произведения и дисперсия суммы независимых случайных величин..Две случайные величины называютсянезависимыми, если законраспределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент: . Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:

 

 

1.16.Полная группа событий, априорная и апостериорная вероятность.теорема Байеса.

По́лнойгру́ппойсобы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них.

Пусть есть вероятностное пространство. Любое разбиение множества элементами сигма-алгебры называется полной группой событий.

Теорема Байеса- формула, позволяющая вычислять апостериорные вероятности событий (или гипотез) через априорные вероятности. Пусть  - полная группа несовместимых событий : при . Тогда апостериорная вероятность события при условии, что произошло событие В , может быть найдена по формуле Бейеса:

Где - априорная вероятность события ,  - условная вероятность события Впри условии, что произошло событие .

АПОСТЕРИОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ какого-либо события - условная вероятность события при нек-ром условии, рассматриваемая в противоположность его безусловной или априорной вероятности.

1.17События называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любое произведение остальных (включающее либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.События, независимые в совокупности, попарно независимы между собой; обратное утверждение неверно.

Теорема умножения произвольных событий. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое имеет место, т.е. P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).

Следствие. Для любых двух событий А и В справедливо равенство P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).

Теорема умножения произвольных событий допускает обобщение на случай нескольких событий.

Теорема умножения независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: P(AB) = P(A)P(B).

Теорема умножения независимых в совокупности событий. Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(A1 x A2 x...x An) = P(A1) x P(A2) x...x P(An).

Формула полной вероятности. Если Н1….Нп-полная группа попарно несовместных событий(т.е сумма этих событий есть достоверное событие и никакие два из них не могут произойти одновременно) то вероятность любого события А может быть вычислена с помощью формулы полной вероятности :

Р(А)=Р(Н1)Р(А│Н1)+…+Р(Нп)Р(А│Нп).

События Н1….Нп называются при этом гипотезами ,а вероятности Р(Н1)…Р(Нп) -априорными вероятностями гипотез.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: