Методы получения точечных оценок.

 

1. Метод наибольшего правдоподобия. Пусть Х — дискретная случайная величина, которая в результате п испытаний приняла значения х1, х2, …, хп. Предположим, что нам известен закон распределения этой величины, определяемый параметром Θ, но неизвестно численное значение этого параметра. Найдем его точечную оценку.

Пусть р(хi, Θ) — вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение хi. Назовем функцией правдоподобия дискретной случайной величины Х функцию аргумента Θ, определяемую по формуле:

 

L (х1, х2, …, хп; Θ) = p(x1,Θ)p(x2,Θ)…p(xn,Θ).

Тогда в качестве точечной оценки параметра Θ принимают такое его значение Θ* = Θ(х1, х2, …, хп), при котором функция правдоподобия достигает максимума. Оценку Θ* называют оценкой наибольшего правдоподобия.

 

Поскольку функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении Θ, удобнее искать максимум ln L — логарифмической функции правдоподобия. Для этого нужно:

1) найти производную ;

2) приравнять ее нулю (получим так называемое уравнение правдоподобия) и найти критическую точку;

3) найти вторую производную ; если она отрицательна в критической точке, то это — точка максимума.

Достоинства метода наибольшего правдоподобия: полученные оценки состоятельны (хотя могут быть смещенными), распределены асимптотически нормально при больших значениях п и имеют наименьшую дисперсию по сравнению с другими асимптотически нормальными оценками; если для оцениваемого параметра Θ существует эффективная оценка Θ*, то уравнение правдоподобия имеет единственное решение Θ*; метод наиболее полно использует данные выборки и поэтому особенно полезен в случае малых выборок.

 

Недостаток метода наибольшего правдоподобия: сложность вычислений.

 

Для непрерывной случайной величины с известным видом плотности распределения f(x) и неизвестным параметром Θ функция правдоподобия имеет вид:L (х1, х2, …, хп; Θ) = f(x1,Θ)f(x2,Θ)…f(xn,Θ).

 

Оценка наибольшего правдоподобия неизвестного параметра проводится так же, как для дискретной случайной величины.

 

 Метод наименьших квадратов.

 

Метод наименьших квадратов является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей. Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно “хорошо” отображать закономерности развития процесса .

 

Рассмотрим процедуру оценки параметров линейной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов более подробно. Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением yt = a0 + a1 х1t +...+ anхnt + εt .

 

Исходными данными при оценке параметров a0 , a1 ,..., an является вектор значений зависимой переменной y = (y1 , y2 , ... , yT )' и матрица значений независимых переменных

в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели .

 

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.

 

Метод моментов

 

При заданном виде закона распределения случайной величины Х неизвестные параметры этого распределения можно оценить, т. е. выразить как функцию вариант выборки на основе метода моментов.

 

Этот метод состоит в том, что приравниваются соответствующие эмпирические и теоретические моменты и из полученных уравнений находятся оценки параметров. В случае одного параметра в теоретическом распределении для его оценки достаточно составить одно уравнение. Если имеются два параметра в теоретическом распределении, то нужно приравнять соответственно два теоретических и эмпирических момента и т. д.

 

Обычным эмпирическим моментом порядка называют среднее значение j-х степеней разностей :

 

 

Где – наблюденная варианта;  – частота варианты ; – объем выборки;  – произвольное постоянное число.

 

Если произвольная константа равна 0, то обычный эмпирический момент порядка называют начальным эмпирическим моментом порядка :

 

Центральный эмпирический момент порядка j – это такой обычный эмпирический момент порядка j, у которого произвольная постоянная равна :

 

.Например, пусть задан вид функции плотности распределения  непрерывной случайной величины Х , определяемой одним неизвестным параметром , и требуется найти точечную оценку этого параметра. Приравняем начальный эмпирический момент теоретическому, т. е.

 

Решив данное уравнение, получим выражение для оценки (функцию от результатов наблюдений):

В общем случае

Если решение единственно, то оценка состоятельна, но в общем случае неэффективна. При оценке двух параметров распределения генеральной совокупности обычно приравнивают начальные теоретический и эмпирический моменты первого порядка и центральные теоретический и эмпирический моменты второго порядка, получая два уравнения:

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: