Графическая иллюстрация статистических рядов

В качестве графической иллюстрации статистических рядов используются:

Полигон частотназывают ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), ..., (xk; nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им частоты ni. Точки ( xi; ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот

Гистограмма частот - ступенчатая фигура, состоящая из  прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы. Высота -го прямоугольника полагается равной плотности частоты . Соответственно площадь каждого прямоугольника равна  - относительной частоте. Гистограмма частот также является статистическим аналогом кривой плотности распределения (рис 2).

 

Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1; W1), (x2; W2), ..., (xk; Wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты Wi. Точки ( xi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Эмпирическая функция распределения

 

Эмпирической функцией распределения называется функция, вычисляемая для любого значения х по формуле

 

                                                             ,                                         

где n – объем выборки, – количество вариант, значения которых меньше, чем х.

 

Свойства :

 

При ;

 

При  ;

 

При  ;

 

– функция неубывающая.

3.2. Понятие о статистической оценке параметров. Θ, θ (название: те́та, греч. θήτα)

Пусть распределение признака Х - генеральной совокупности - задается функцией вероятности f(x, θ) = P(X=xi) для дискретной случайной величины или плотностью вероятностей для непрерывной случайной величины, которая содержит неизвестный параметр θ.

Для вычисления параметра θ используют выборку x1, x2, ..., xn, каждая из которых имеет один и тот же закон распределения, что и признак Х.

Оценкой θn параметра θ называют всякую функцию результатов наблюдений (иначе - статистику), с помощью которой делают вывод о значении параметра θ: θn = θn(x1, x2, ..., xn).

 

Так как x1, x2, ..., xn - случайные величины, то и оценка θn является случайной величиной, которая зависит от закона распределения и объема выборки n. Оцениваемый параметр θ является постоянной величиной.

 

Всегда существует множество функций от результатов наблюдений x1, x2, ...xn, которые можно предложить в качестве оценки параметра θ. Например, для математического ожидания в качестве оценки θn по выборке можно взять среднюю арифметическую результатов наблюдений , моду M0, медиану Me и т. д.

 

Так как θn - случайная величина, то невозможно предсказать индивидуальное значение оценки в данном частном случае. Поэтому о качестве оценки следует судить не по ее индивидуальным значениям, а по распределению ее значений при достаточно большом числе испытаний, т. е. по выборочному распределению оценки.

свойства оценок

Оценка θn параметра θ называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. M(θn) = θ.

 

В противном случае оценка называется смещенной. Если это равенство не выполняется, то оценка θn, полученная по разным выборкам, будет либо завышать θ, если M(θn) > θ, либо занижать его, если M(θn) < θ. Таким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Для оценок важными являются еще свойства состоятельности и эффективности, определения которых приводятся ниже.

 

Оценка θn параметра θ называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т. е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру или

 

.

 

Если оценка состоятельна, то практически достоверно, что при достаточно большом n θn ≈ θ.

Несмещенная оценка θn параметра θ является эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема n. Так как для несмещенной оценки M(θn – θ)2 есть дисперсия , то эффективность является решающим свойством, определяющим качество оценки.

 

В качестве статистических оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.

 называется несмещенной оценкой параметра , если для любого выполнено равенство

 

называется состоятельной оценкой параметра , если для любого  имеет место сходимость  при .

.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: