Сущность и значение исследования.

Каждая задача на построение включает в себя требование построить геометрическую фигуру, удовле­творяющую определенным условиям, которые в боль­шинстве своем задаются размерами или положенном некоторых геометрических образов. Условия задач фор­мулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения.

Допустимые значения определяются наиболее есте­ственным образом. В задаче: «Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу С между ними» допусти­мыми значениями для а и b будут всевозможные отрез­ки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, а угол С может принимать все­возможные значения от 0° до 180°.

В задаче: «Построить окружность, касающуюся длиной окружности в данной на ней точке и данной прямой» прямая может занимать любое положение на плоскости; окружностью также может быть любая окружность на плоскости, но так как окружность характери­зуется положением центра и величиной радиуса, то мож­но сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости, а радиусом – любой отрезок, длина которого 0 < R < ∞. (Иногда рассматривают и направленные окружности, тогда уже радиус может быть и неположительным чистом, но подобные случаи обычно оговариваются в условии задачи.) Точка также может занимать произвольное положение, но уже не на плос­кости, а на данной окружности, так как она обязательно должна принадлежать ей.

Иногда невозможность построения искомой фигу­ры очевидна, если хоть один из данных элементов не принадлежит области допустимых значений. Например: «Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу между ними в 240°». Такая задача решения не имеет, так как любой угол треугольника всегда меньше 180°.

Но если все данные принадлежат соответствующей области существования, то в большинстве случаев много­образие возможных положений, характер изменения данных приводит, как и в алгебре при решении задач с параметрическими данными, к постановке вопросов: При каких данных задача не имеет решения? Как изме­няется ответ при определенном характере изменения дан­ных? Каковы должны быть значения исходных данных, чтобы получить намеченный ответ? и т. п.

При анализе, а значит, и при построении всегда исходим из предположения, что искомая фигура сущест­вует, не учитывая всего многообразия данных, их разме­ров и взаимных соотношений. Решение задачи на построение считается законченным, если указаны необхо­димые и достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу. Значит, мы долж­ны установить, при всяком ли выборе данных задача имеет решение и если имеет, то сколько. Например: «Построить окружность, проходящую через три данные раз­личные точки». Если данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача реше­ния не имеет.

Если при определенном сочетании данных общее ре­шение не применимо, то необходимо дать новое решение, которое часто не незначительно отличается от общего или является его вырожденным случаем. Иногда план реше­ния сохраняется, по его осу­ществление с помощью ин­струментов выполняется не так, как в общем случае.

В средней школе обычно ограничиваются лишь двумя моментами: 1) выясняют число решений в зависимости от данных и 2) изменяют или упрощают решение для отдельных случаев. Правда, для некоторых задач в исследовании дается еще и ответ па вопрос: при каких условиях искомая фигура удовлетворяет тем или иным дополнительным условиям. Например: «Около данного треугольника описать окружность. Выяснить, когда центр этой окружности находится внутри треугольника, вне треугольника или принадлежит одной из его сторон». Ответ на последний вопрос также дается при исследовании.

Исследование является составной частью реше­ния. Решение задачи на построение можно считать за­конченным, если узнаем, сколько искомых фигур полу­чим при определенных данных, и, в частности, указано, когда не получим искомый геометрический образ. Но ис­следование в задачах на построение, как и исследование при решении других задач по математике, имеет и общеобразовательное значение.

В процессе исследования учащиеся упражняются в практическом применении диалектического метода мы­шления. Они видят, что изменение данных задачи вызы­вает изменение искомой фигуры. Мы имеем дело нес за­костенелыми, а с изменяющимися геометрическими образами, изменение одних величин обусловлено изменением других.

Для правильного проведения исследования нужно обладать хорошо развитым логическим мышлением. Значит, с другой стороны, исследование задач на по­строение является хорошим материалом для развития логического мышления учащихся.

Заметим, что и при решении задач на доказательст­во или вычисление учащимся нередко нужно для по­строения правильного чертежа также проводить иссле­дование. Часто необходимо предварительно выяснить, какой вид данного треугольника (остроугольный или ту­поугольный), какие стороны принять равными данным отрезкам. Например, при решении задачи: «Определить периметр равнобедренного треугольника со сторонами в 7 см и 3 см»вначале нужно установить, что основанием является отрезок длиной 3 см, а не 7 см.

Нередко уже при анализе задач на построение мы вынуждены учитывать различные положения данных и искомых элементов. Например, решая задачу: «Дана окружность и на ней три точки М, N и Р, в которых пере­секаются с окружностью (при продолжении) высота, биссектриса и медиана, исходящие из одной вершины вписанного треугольника. Построить этот треугольник», в первую очередь нужно выяснить, что точка N (соответ­ствует биссектрисе) расположена между М и Р, рассмат­ривая дугу MP, меньшую полуокружности.

Приведем еще такой пример: «На окружности даны две точки А и В. Из этих точек провести две параллель­ные хорды, сумма которых дана». Решение задачи легко свести к построению вписанной трапеции с заданной сум­мой оснований, вершинами которой являются точки А и В. Но решение зависит от того, будет ли АВ боковой сто­роной трапеции или ее диагональю. Вновь анализ вклю­чает в себя элементы исследования.

Несмотря на необходимость и целесообразность исследования при решении задач на построение, ему и в школе, и в методической литературе уделяется недоста­точно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения – анализу. Анализ – основной этап при решении задач на построение: не найдя реше­ния, нельзя провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наи­большее количество ошибок допускается именно при исследовании.

Методы решения задач на построение.

Метод геометрических мест.

1. Понятие «геометрическое место точек», являющее­ся синонимом понятия «множество», одного из основных понятий современной математики, вводится в элементар­ной геометрии исключительно ввиду его наглядности, образности; слово «место» как бы отвечает на вопрос, где «помещаются» точки, обладающие тем или иным свойством.

Знание геометрических мест точек, обладающих определенным свойством, облегчает нахождение реше­ния для многих практических задач. Например, для ре­шения задач на сопряжение окружностей и прямых, с ко­торыми учащиеся встречаются довольно часто на уро­ках труда в школьных мастерских при опиливании криволинейных поверхностей (изготовление дуги для лобзика, отвертки, гаечного ключа и т. п.), при изготов­лении приборов, пособий для школы, которые они часто делают не по чертежам, а по техническим рисункам, не выполняя деталировки каждой детали, необходимо знать соответствующие геометрические места. Без знания геометрических мест центров окружностей, касающихся данных прямых или окружностей при определенных ограничениях, семиклассники не смогут на уроках чер­чения понять способы решения задач на сопряжение углов дугами, сопряжение окружности с прямой при помощи дуги данного радиуса и т.п.

Следует учитывать, что понятие «геометрическое ме­сто точек» необходимо и в курсе алгебры при изучении графиков простейших функций в VII-VIII классах. График функции определяется как геометрическое место точек плоскости, координаты которых являются соответственными значениями аргумента и функции. Понятие графика необходимо и в курсе физики, где в последние годы все большее значение приобретает графический метод.

В VI-VII классах нельзя отказываться и от решения задач на построение методом геометрических мест, од­ним из основных методов конструктивной геометрии.

Решая задачи на построение, учащиеся учатся при­менять свои знания, ибо они должны сами отвечать на поставленные вопросы. В настоящее время главной задачей учителей математики является не столько сообще­ние математических фактов, определений, формул, тео­рем, сколько необходимость учить детей мыслить, учить их самостоятельно работать.

2. Учащиеся VI класса не сразу сознательно, глубоко усвоят понятие «геометрическое место точек». Важно, чтобы они с данными словами связывали более полную группу геометрических фигур, чтобы понятие охваты­вало целый класс, а не один – два отдельных примера. Учащиеся должны видеть различные примеры геометри­ческих мест точек в различных формулировках, чтобы на основе анализа и синтеза осознать общность этого понятия, охватывающего обширный класс геометриче­ских фигур, создать себе соответствующее представление об этом понятии.

Трудным для понимания шестиклассников является и абстрактное понятие «множество». Приводимые при­меры множеств (множество учащихся, деревьев в саду и т.п.), в большинстве своем, есть конечные множества, а почти все геометрические места точек, рассматривае­мые в школьном курсе геометрии, являются бесконечны­ми точечными множествами.

3. Понятие геометрического места точек, обладаю­щих некоторым свойством, вводим на примере геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек. После изучения признаков равенства прямоуголь­ных треугольников решаем задачу: «Найти точку, рав­ноудаленную от двух данных точек А и В» (рис. 27).

  Рис. 27  

 

Учащиеся обычно указывают лишь точку О, середину отрезка АВ. А нет ли на плоскости еще точек, равноуда­ленных от А и В? При построе­нии с помощью циркуля не-  скольких таких точек учащиеся самостоятельно припоминают свойство точек оси симметрии и говорят, что точек, равноудаленных от А и В, будет много, все они лежат на оси симмет­рии данных точек А и В.

Можно непосредственно, основываясь на признаках ра­венства прямоугольных тре­угольников, доказать, что всякая точка, равноудаленная от данных точек А и В, лежит на их оси симметрии, то есть на перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ через его середину, и наоборот, всякая точка этого перпендику­ляра равноудалена от точек А и В.

После этого даем определение геометрического места точек, обладающих некоторым свойством, как множест­ва всех точек, обладающих этим свойством, и только та­ких точек, и предлагаем учащимся сформулировать ре­зультат решения задачи и записать в тетради, что гео­метрическое место точек, равноудаленных от двух точек, есть ось симметрии данных точек.

Здесь впервые встречаемся не с отдельной, фиксиро­ванной точкой, а с любой точкой прямой. До этого уча­щиеся почти всегда имели дело с неподвижными, опре­деленными по положению точками, а здесь точка может перемещаться некоторым образом, но все время она об­ладает определенным свойством. Поэтому большую пользу окажет учащимся наглядное пособие с непо­движными точками А и В и перемещающейся по их оси симметрии точкой О, соединенной резинкой с точками А и В, с помощью которого хорошо разъяснить смысл выражения: «Любая точка оси симметрии равноудалена от А и В».

Примечание. Включение в определение лишних с научной точки зрения слов «и только таких точек» вызвано педагогическими соображениями. В противном случае в определении явно не выделяется необходимость доказательства двух взаимно обратных теорем для утверждения, что та или иная фигура является геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством.

4. Целесообразно в качестве домашнего задания к этому уроку предложить учащимся повторить определе­ние окружности (§ 12 по учебнику Н. Н. Никитина). То­гда на уроке, уточнив, что все точки окружности нахо­дятся от центра на одном и том же расстоянии, а всякая точка, взятая внутри (вне) окружности, находится от ее центра на расстоянии, меньшем (большем) радиуса, делаем вывод, что окружность можно рассматривать как геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии R от данной точки О.

Предлагаем учащимся самостоятельно найти все точки, находящиеся от данной точки О на расстоянии, меньшем чем R. И при разборе этого задания подчерки­ваем, что геометрическим местом точек может быть пря­мая, окружность и даже круг, а в дальнейшем будет показано, что геометрическим местом точек, обладаю­щих некоторым свойством, может быть луч, отрезок прямой, две прямые или две окружности и даже отдельные точки. Разбирая такие конкретные примеры, мы пока­зываем учащимся разнообразие видов тех множеств то­чек, которые могут быть геометрическими местами точек.

Затем надо показать учащимся, что одно и то же гео­метрическое место точек может встречаться в различ­ных формулировках, для чего сравниваем, например, из­вестное им геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, с такими, как геометрическое место точек, равноудаленных от концов дачного отрезка; геометрическое место вершин равнобедренных треуголь­ников с общим основанием (середина основания уже исключается).

5. Применяя эти геометрические места точек, решаем задачи методом геометрических мест, начиная с простей­шей задачи. Какие же задачи считать простейшими?

Сущность метода геометрических мест состоит в сле­дующем:

1) Решение задачи сводим к отысканию точки, удо­влетворяющей определенным условиям.

2) Отбрасываем одно из этих условий, получим гео­метрическое место точек, удовлетворяющих оставшимся условиям.

3) Отбрасываем затем какое-нибудь другое условие, получим новое геометрическое место точек, удовлетворяющих остальным условиям.

4) Искомая точка, удовлетворяющая всем условиям, является точкой пересечения полученных геометрических мест.

Какую задачу ни возьмем, одновременно второй и третий этапы отсутствовать не могут, ибо тогда это не была бы задача на метод геометрических мест. Но без одного из этих этапов можно обойтись, если в условии указать геометрическую фигуру, которой должна при­надлежать искомая точка. Чтобы избежать и первого этапа, достаточно задачу сформулировать в виде: «Най­ти точку...».

Следовательно, простейшими задачами на метод гео­метрических мест будут задачи вида: «На какой-либо фигуре найти точку, удовлетворяющую определенным условиям.

Метод осевой симметрии.

1. Осевая симметрия – это первый из видов движе­ния, преобразования, с которым учащиеся встречаются в систематическом курсе геометрии.

В настоящее время в геометрии большое значение имеют конструктивные навыки, при помощи которых учащиеся овладевают методами преобразования одних геометрических фигур в другие, и постепенно знакомятся с важной идеей геометрического преобразования, кото­рое является аналогом функциональной зависимости в геометрии.

Курсы алгебры и арифметики подчинены одной идее, идее функциональной зависимости. Мы стремимся воспи­тывать у учащихся функциональное мышление, умение находить законы связей между величинами. Подчинив курс геометрии идее геометрических преобразова­ний, аналогу функциональной зависимости, подчиняем все изложение курса математики одной руково­дящей идее.

В новой программе по геометрии значительное внима­ние уделено геометрическим преобразованиям, то есть таким операциям, когда каждой точке одной фигуры по некоторому закону ставится в соответствие определенная точка другой фигуры. В средней школе из геомет­рических преобразований рассматриваются различные виды движений, а также подобие фигур.

Изучение движения в средней школе принесет ощутимые плоды, если эти преобразования станут осно­вой курса геометрии, а не придатком, органически не связанным с ним. Движение должно служить одним из основных методов доказательства многих теорем геомет­рии в VI-VII классах. Более того, идея движения может быть положена в основу построения значительной части курса геометрии. Излагаемый материал приобретает кинематический характер, значительно облегчается по­нимание учащимися образования и построения геомет­рических фигур. Применяя понятие осевой симметрии, можно значительно усовершенствовать школьный курс геометрии. Например, применение свойств оси симметрии позволяет довольно просто изложить три признака ра­венства треугольников, специальные случаи равенства прямоугольных треугольников и ряд других тем из главы «Треугольники».

2. Различные виды движений дают возможность ре­шать практически важные задачи на построение, дока­зательство и задачи вычислительного характера. Поэтому все изложение должно сопровождаться упражнениями, среди которых предпочтение следует отдавать задачам на построение и на доказательство. Нужно решать и за­дачи на вычисление, особенно с практическим содержа­нием, но в большинстве случаев при решении таких за­дач геометрическая сторона вопроса в значительной сте­пени поглощается арифметическими и алгебраическими операциями.

3.Известно, что осознанные знания могут быть полу­чены только в процессе активной и творческой деятель­ности самостоятельно или под руководством учителя. При изучении осевой симметрии имеются большие возможности привлечь учащихся к формированию самого понятия. Действительно, учащиеся неоднократно наблю­дали в жизни примеры симметричных фигур, многие из таких предметов они рисовали или изготовляли на уро­ках в начальной школе и в V классе: вырезали симмет­ричные фигуры из бумаги, рисовали симметричные орнаменты, листья и цветы, изготовляли симметричные предметы из дерева и металла, применяя симметричные инструменты.

Анализируя эти знакомые учащимся примеры, осо­бенно примеры предметов, которые были объектом или орудием трудa учащихся в школьных мастерских, на уроках домоводства или общественно полезного труда, мы постепенно формируем представление о симметрич­ных фигурах.

Часть работ (изготовление мотыги, планки для граб­лей и т. п.), требующих построения точек, симметричных относительно определенной оси, учащиеся изготавливают до изучения соответствующего материала в курсе геометрии. поэтому при объяснении осевой симметрии, чтобы подчеркнуть значение этого понятия, в качестве симметричных фигур использовали пособия, изготовленные учащимися этого же класса в школьных мастерских, причем выбирали всегда два однотипных пособия 9молотки, стамески), одно из которых сделано аккуратно, точно по чертежу, а второе такое, у которого все размеры выдержаны, но нарушена симметричность. Совместными усилиями учащиеся выяснили, почему второе пособие получилось плохим, и как нужно было правильно сделать разметку.

4. В школьном курсе геометрии выражение «симмет­рия» имеет двоякий смысл: оно обозначает и вид движе­ния (преобразование) и свойство плоской фигуры, обла­дающей симметрией, которая при соответствующем дви­жении переходит сама в себя. Это различие мы должны учитывать, ибо в преподавании приходится иметь дело с каждым из этих истолкований симметрии. И одна из задач учителя – добиться того, чтобы учащиеся воспри­няли симметрию как один из способов преобразования одной фигуры в другую, а не как свойство неподвижной фигуры.

Поэтому после введения определения симметричных относительно оси точек, внимание учащихся переклю­чаем на практику построения взаимно симметричных относительно оси фигур, для чего решаем задачи вида:

1) Построить точку, симметричную данной точке от­носительно данной прямой.

2) Построить отрезок (прямую), симметричный дан­ному отрезку (прямой) относительно данной прямой.

3) Построить треугольник, симметричный данному треугольнику относительно данной прямой.

4) Построить окружность, симметричную данной ок­ружности относительно данной прямой.

5) Построить треугольник, симметричный данному прямоугольному треугольнику относительно а) его ка­тета; б) его гипотенузы.

При решении этих задач одновременно устанавливаем и равенство взаимно симметричных отрезков, углов и других фигур, иллюстрируя наши утверждения пере­гибанием чертежа по оси симметрии, что помогает най­ти и сделать понятным способ решения задачи. Напри­мер, при решении задач вида: «Даны две прямые. Най­ти на них точки, симметричные относительно третьей прямой» очень удобно нанести все три прямые на кальку и перегнуть чертеж по третьей прямой. Тогда решение задачи становится очевидным и понятным для всех учащихся. Таким же образом решаем задачи: а) Даны прямая и треугольник. Найти на одной прямой и на кон­туре треугольника точки, симметричные друг другу от­носительно другой прямой, б) Даны окружность и тре­угольник. Найти на окружности и на контуре треуголь­ника точки, симметричные друг другу относительно данной прямой.

Чтобы показать учащимся важность и необходимость умений и навыков в построении симметричных относительно оси точек, кроме разбора известных уже им при­меров, полезно выполнить разметку какого-нибудь из­делия, которое нужно будет изготовлять в ближайшее гремя.

5. Обучение должно вестись так, чтобы учащиеся усвоили знания не как изолированные, оторванные от других, а как подготовленные предшествующими зна­ниями, и которые естественно включаются в после­дующие. Поэтому в дальнейшем, где только возможно, следует использовать понятие и свойства осевой симмет­рии и правила построения симметричных фигур при изу­чении новых геометрических образов и при решении до­ступных учащимся задач на построение.

Знание свойств симметричных относительно оси фи­гур позволяет рассматривать решение основных задач на построение с помощью циркуля и линейки до изучения признаков равенства треугольников и понятия геометри­ческого места точек. Сами построения являются для учащихся понятными и естественными.

Действительно, чтобы построить точку, симметричную относительно некоторой прямой данной точке А, не ле­жащей на этой прямой, построим две окружности, про­ходящие через точку А с центрами в произвольных точ­ках О₁, и О₂ данной прямой. Так как для окружностей данная прямая является осью симметрии, то вторая их общая точка А₁ будет искомой точкой. Но этим самым мы решили и задачу: «Через точку А, не лежащую на данной прямой, пронести перпендикуляр к этой прямой,

Аналогичным образом решается и задача о построе­нии оси симметрии двух данных точек; одновременно по­лучаем решение задачи о делении данного отрезка по­полам.

Так как биссектриса угла есть осьсимметрии его сторон, то для построения ее достаточно найти на сторонах угла две точки, симметричные относительно искомой оси, каковыми будут точки, находящиеся на равных расстояниях от вершины угла, принадлежащей оси симметрии. В результате задача свелась к предыдущей с той лишь разницей, что достаточно найти одну точку оси, так как вторая точка – вершина угла – нам известна.

Этим же построением решается и задача о проведении к прямой перпендикуляра через данную на ней точку, так как искомый перпендикуляр по существу есть биссектриса развернутого угла с вершиной в данной точке.

Применение осевой симметрии значительно упро­щает и облегчает усвоение таких разделов темы «Окруж­ность», как свойство диаметра, перпендикулярного к хорде, свойство дуг, заключенных между параллельными хордами. Без большой затраты времени можно тщатель­но рассмотреть весьма важный для приложений вопрос о взаимном расположении окружностей, если обратить внимание учащихся на симметричность общих точек двух окружностей относительно их линии центров. Уча­щиеся смогут самостоятельно указать необходимые и до­статочные условия касания двух окружностей, что нуж­но при изучении соответствующих геометрических мест центров окружностей, касающихся данной.

В VII-VIII классах метод осевой симметрии часто применяется вместе с другими методами.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: