III . Аксиомы конгруэнтности

I. Аксиомы принадлежности

I, 1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.

I, 2. Каковы бы ни были две точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

I, 3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии. Следующие пять аксиом вместе с указанными тремя завершают список аксиом принадлежности стереометрии.

I, 4. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.

I, 5. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.

I, 6. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.

I, 7. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обоим этим плоскостям.

I, 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

С целью использования привычной для нас геометрической лексики договоримся отождествлять между собой следующие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой a (плоскости α )», 2) «прямая а (плоскость α ) проходит через точку А» 3) «точка А лежит на прямой а (плоскости α )» 4) «точка А является точкой прямой а (плоскости α )» и тому подобные.

Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки.

Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Теорема 3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки.

Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку, или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость.

Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки.

II. Аксиомы порядка

II, 1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С – различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.

II, 2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере она точка В такая, что С лежит между А и В.

II, 3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Сформулированные три аксиомы относятся к расположению объектов на прямой и потому называются линейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на плоскости. Для того, чтобы сформулировать эту аксиому, введём понятие отрезка.

Пару различных точек А и В назовём отрезком и будем обозначать символом АВ или ВА. Точки прямой, определяемой А и В, лежащие между ними, будем называть внутренними точками, или просто точками отрезка АВ. Остальные точки указанной прямой будем называть внешними точками отрезка АВ.

II, 4 (Аксиома Паша). Если А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой, и а – некая прямая в плоскости, определяемой этими точками, не содержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую точку отрезка АВ, то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка АС, либо через некоторую точку отрезка ВС.

Подчеркнём, что из одних аксиом порядка II, 1 – 4 ещё не вытекает, что любой отрезок имеет внутренние точки. Однако привлекая ещё аксиомы принадлежности I, 1 – 3 можно доказать следующее утверждение:

Теорема 6. Каковы бы ни были две различные точки А и В на прямой, ими определяемой, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между А и В.

Теорема 7. Среди любых трёх точек одной прямой всегда существует одна точка, лежащая между двумя другими.

Теорема 8. Если точки А, В и С не принадлежат одной прямой и если некоторая прямая а пересекает [1] какие-либо два из отрезков АВ, ВС и АС, то эта прямая не пересекает третий из указанных отрезков.

Теорема 9. Если В лежит на отрезке АС, и С – на отрезке В D, то В и С лежат на отрезке А D.

Теорема 10. Если С лежит на отрезке А D, а В – на отрезке АС, то В лежит также на отрезке А D, а С – на отрезке BD.

Теорема 11. Между любыми двумя точками прямой существует бесконечно много других её точек.

Теорема 12. Пусть каждая из точек С и D лежит между точками А и В. Тогда если М лежит между С и D, то М лежит и между А и В.

Теорема 13. Если точки С и D лежат между точками А и В, то все точки отрезка С D принадлежат отрезку АВ (в этом случае мы будем говорить, что отрезок С D лежит внутри отрезка АВ).

Теорема 14. Если точка С лежит между точками А и В, то 1) никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка C В, 2) каждая отличная от С точка отрезка АВ принадлежит либо отрезку АС, либо отрезку СВ.

Указанные утверждения позволяют упорядочить множество точек любой прямой и выбрать на этой прямой направление.

Будем говорить, что две различные точки А и В прямой a лежат по разные стороны (по одну сторону) от третьей точки О той же прямой, если точка О лежит (не лежит) между А и В.

Из указанных выше утверждений вытекает следующая теорема.

Теорема 15. Произвольная точка О каждой прямой а разбивает все остальные точки этой прямой на два непустых класса так, что любые две точки прямой а, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О.

Таким образом, задание на любой прямой двух различных точек О и Е определяет на этой прямой луч или полупрямую ОЕ, обладающую тем свойством, что любая её точка и точка Е лежат по одну сторону от О.

Выбрав на прямой а две различные точки О и Е, мы можем теперь определить порядок следования точек на прямой по следующему правилу: 1) если А и В – любые точки луча ОЕ, то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между О и В, 2) будем говорить, что точка О предшествует любой точке луча ОЕ, 3) будем говорить, что любая точка, принадлежащая той же прямой и не принадлежащая лучу ОЕ, предшествует как точке О, так и любой точке луча ОЕ, 4) если А и В – любые точки, не принадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А предшествует В, если В лежит между А и О.

Легко проверить, что для выбранного нами порядка следования точек прямой а справедливо свойство транзитивности: если А предшествует В, а В предшествует С, то А предшествует С.

Аксиомы, приведённые выше, позволяют упорядочить и точки, принадлежащие произвольной плоскости α.

Теорема 16. Каждая прямая а, принадлежащая плоскости α, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два непустых класса так, что любые две точки А и В из разных классов определяют отрезок АВ, содержащий точку прямой а, а любые две точки А и А’ из одного класса определяют отрезок АА’, внутри которого не лежит ни одна точка прямой а.

В соответствие с утверждением этой теоремы мы можем говорить, что точки А и А’ (одного класса) лежат в плоскости α по одну сторону от прямой а, а точки А и В (разных классов) лежат в плоскости α по разные стороны от прямой а.

IV. Аксиомы непрерывности

С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности мы произвели сравнение отрезков, позволяющее заключить, каким из трёх знаков <, = или > связаны эти отрезки.

Указанных аксиом, однако, недостаточно 1) для обоснования возможности измерения отрезков, позволяющее поставить в соответствие каждому отрезку определённое вещественное число, 2) для обоснования того, что указанное соответствие является взаимно однозначным.

Для проведения такого обоснования следует присоединить к аксиомам I, II и III две аксиомы непрерывности.

IV, 1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и С D – произвольные отрезки. Тогда на прямой, определяемой точками А и В существует конечное число точек А₁, А₂, ..., А _n, расположенных так, что точка А₁ лежит между А и А₂, точка А₂ лежит между А₁ и А₃, ..., точка А _{n -1} лежит между А _{n -2} и А _n, причём отрезки АА₁, А₁А₂, ..., А _{n -1} A_n конгруэнтны отрезку CD и точка В лежит между А и А _n.

IV, 2 (аксиома линейной полноты). Совокупность всех точек произвольной прямой а нельзя пополнить новыми объектами (точками) так, чтобы 1) на пополненной прямой были определены соотношения «лежит между» и «конгруэнтен», определён порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтности III, 1 – 3 и аксиома Архимеда IV, 1, 2) по отношению к прежним точкам прямой определённые на пополненной прямой соотношения «лежит между» и «конгруэнтен» сохраняли старый смысл.

Присоединение к аксиомам I, 1 – 3, II и III, 1- 3 аксиомы Архимеда позволяет поставить в соответствие каждой точке произвольной прямой а определённое вещественное число х, называемое координатой этой точки, а присоединение ещё и аксиомы линейной полноты позволяет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчерпывают множество всех вещественных чисел. Пользуясь этим, можно обосновать метод координат.

V. Аксиома параллельности

Самая последняя аксиома играет в геометрии особую роль, определяя разделение геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии.

В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так.

V. Пусть а – произвольная прямая и А – точка, лежащая вне прямой а, тогда в плоскости α , определяемой точкой А и прямой а существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а.

Долгое время геометры пытались выяснить, не является ли аксиома параллельности следствием всех остальных аксиом. Этот вопрос был решен Николаем Ивановичем Лобачевским, который доказал независимость аксиомы V от аксиом I – IV.

По-другому результат Лобачевского можно сформулировать так: если к аксиомам I – IV присоединить утверждение, отрицающее справедливость аксиомы V, то следствия всех этих положений будут составлять логически непротиворечивую систему (неевклидову геометрию Лобачевского).

Систему следствий, вытекающих из одних только аксиом I – IV обычно называют абсолютной геометрией. Абсолютная геометрия является общей частью как евклидовой, так и неевклидовой геометрий, ибо все предложения, которые могут быть доказаны только с помощью аксиом I – IV, верны как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского.

II. Аксиомы порядка

Будем полагать, что на прямой есть два направления, взаимно противоположных друг другу, и по отношению каждому из них каждая пара точек А и В находится в известном отношении, которое выражается словом «предшествовать». Это отношение обозначается знаком <, так что выражение «А предшествует В» можно символически записать так:

 

А < B.

 

Требуется, чтобы указанное отношение для точек на прямой удовлетворяло нижеследующим пяти аксиомам.

II, 1. Если А < В в одном направлении, то В < А в противоположном направлении.

II, 2. В одном из двух направлений А < В исключает В < А.

II, 3. В одном из двух направлений если А < В и В < С, то А < С.

II, 4. В одном из двух направлений для каждой точки В найдутся точки А и С такие, что А < B < C.

Каждое из утверждений аксиом II, 2 – 4 относится к одному из двух направлений на прямой. По аксиоме II, 1 оно верно также и для противоположного направления.

Прежде чем сформулировать последнюю аксиому, определим некоторые понятия. Пусть а – прямая и А – точка на ней. При фиксированном направлении на прямой точка А разбивает её на две части (полупрямые), для каждой точки Х одной из них Х < А, а для каждой точки Х другой полупрямой А < X. Очевидно, это разбиение прямой на части не зависит от выбранного на ней направления (аксиома II, 1).

Пусть А и В – две точки прямой а. Если для точки С прямой а выполняется условие А < C < В или В < C < А, то мы будем говорить, что точка С лежит между точками А и В. Очевидно, свойство точки лежать между двумя данными не зависит от направления на прямой. Часть прямой а, все точки которой лежат между А и В, мы будем называть отрезком АВ, а точки А и В – концами отрезка.

II, 5. Прямая а, лежащая в плоскости α, разбивает эту плоскость на две полуплоскости так, что если X и Y – две точки одной полуплоскости, то отрезок XY не пересекается с прямой а, если же X и Y принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок XY пересекается с прямой а.

Из аксиом принадлежности (связи), которые в этой системе аксиом аналогичны аксиомам принадлежности Гильберта, и аксиом порядка выводятся следующие следствия.

Теорема 1. Среди точек А, В, С на прямой а одна и только одна лежит между двумя другими.

Теорема 2. Каждый отрезок содержит по крайней мере одну точку.

Теорема 3. Если В – точка отрезка АС, то отрезки АВ и ВС принадлежат АС, т. е. каждая точка отрезка АС и каждая точка отрезка ВС принадлежит отрезку АС.

Теорема 4. Если В – точка отрезка АС и X – точка того же отрезка, отличная от В, то она принадлежит либо отрезку АВ, либо ВС.

Теорема 5. Пусть α – плоскость, и а – лежащая на ней прямая, b – другая прямая, или полупрямая, или отрезок в той же плоскости α .

Тогда, если b не пересекает а, то все точки b лежат по одну сторону от а, т. е. в одной из полуплоскостей, определяемых прямой а.

Пусть А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой. Фигура, составленная из трёх отрезков АВ, ВС и АС называется треугольником, точки А, В и С – вершинами треугольника, а отрезки АВ, ВС и АС – сторонами треугольника.

Теорема 9. Пусть АВС – треугольник в плоскости α и а – прямая в этой плоскости, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если эта прямая пересекает сторону АВ, то она пересекает и притом только одну из двух других сторон ВС или АС.

Нельзя не заметить, что последняя приведённая теорема почти аналогична аксиоме Паша, входящей в систему Гильберта (см. страницу 9), и отличается от неё только тем, что в аксиоме не утверждается единственность второй пересекаемой стороны треугольника.

III. Аксиомы движения

В данной системе группа аксиом конгруэнтности заменена этой группой аксиом. Впрочем, третьи группы аксиом обоих систем в конечном итоге выполняют одну и ту же задачу, определяя разными способами одни и те же явления (группа аксиом конгруэнтности у Гильберта определяет отношения конгруэнтности напрямую, аксиомы движения – через свои следствия).

Итак, будем требовать, чтобы существовали такие отражения точек, прямых и плоскостей на точки, прямые и плоскости, именуемые движениями, удовлетворяющие следующим аксиомам.

III, 1. Каждое движение Н сохраняет отношение принадлежности.

То есть, если точка А принадлежит прямой а (плоскости α ), то её образ при движении Н (обозначаемый НА) принадлежит образу прямой На (соответственно образу плоскости Нα ).

III, 2. Каждое движение Н сохраняет отношение порядка на прямой.

Это означает, как, наверное, уже догадался читатель, что каждому из двух направлений на прямой а можно сопоставить такое направление на прямой На, что каждый раз, когда для точек X и Y прямой а имеет место X < Y, для соответствующих им точек прямой На имеет место HX < HY.

Из этих двух аксиом следует, что каждое движение переводит полупрямую в полупрямую, полуплоскость в полуплоскость.

III, 3. Движения образуют группу.

Это значит:

а) Сопоставление Н⁰ каждому элементу х (точке, прямой, плоскости) его самого есть движение. Это движение называется тождественным.

б) Если движение Н₁ сопоставляет произвольному элементу х элемент y, а движение Н₂ сопоставляет y элемент z, то сопоставление элементу х элемента z есть движение. Оно обозначается Н₂Н₁ и называется произведением движений.

в) Для каждого движения Н существует движение Н^-1 такое, что Н^-1Н=Н⁰. Движение Н^-1 будем называть обратным.

III, 4. Если при движении Н прямая h, как целое, и её начальная точка А остаются неподвижными, то все точки полупрямой h остаются неподвижными.

III, 5. Для каждой пары точек А и В существует движение Н, которе переставляет их местами: НА=В, НВ=А

III, 6. Для каждой пары лучей h, k (полупрямых), исходящих из одной точки, существует движение Н, их переставляющее: Н h = k, Hk = h.

III, 7. Пусть α и β – любые плоскости, а и b – прямые в этих плоскостях, А и В – точки на прямых а и b. Тогда существует движение, которое переводит точку А в В, заданную полупрямую прямой а, определяемую точкой А, - в заданную полупрямую прямой b, определяемую точкой В, заданную полуплоскость плоскости α , определяемую прямой а, – в заданную полуплоскость плоскости β , определяемую прямой b.

Теорема 10. Пусть α – плоскость, и а – принадлежащая ей прямая. Тогда если движение Н переводит каждую из полуплоскостей плоскости α , определяемых прямой а, в себя и оставляет неподвижными точки прямой а, то оно является тождественным.

Действительно, тождественное движение Н⁰ обладает указанными в теореме свойствами Н, а следовательно, по аксиоме III, 7 совпадает с ним.

Определим теперь понятие конгруэнтности. Фигуру F ₁ мы будем называть конгруэнтной фигуре F ₂, если существует движение Н, переводящее F ₁ в F ₂: HF ₁ = F ₂. Из групповых свойств движения (аксиома III, 3) вытекают следующие свойства отношения конгруэнтности:

1. Каждая фигура F конгруэнтна сама себе.

Действительно, тождественное движение Н⁰ переводит F в F.

2. Если фигура F ₁ конгруэнтна F ₂, то фигура F ₂ конгруэнтна F ₁.

В самом деле, если Н – движение, переводящее фигуру F ₁ в F ₂, то движение Н^-1 переводит фигуру F ₂ в фигуру F ₁.

3. Если фигура F ₁ конгруэнтна F ₂, а фигура F ₂ конгруэнтна фигуре F ₃, то фигура F ₁ конгруэнтна F ₃.

Действительно, если Н' – движение, переводящее фигуру F ₁ в F ₂, а Н'' – движение, переводящее фигуру F ₂ в F ₃, то движение Н''Н' переводит F ₁ в F ₃.

Впервые подобную систему предложил спустя десять после появления гильбертовой аксиоматики Фридрих Шур.

Спустя ещё десять лет немецкий математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Эльмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, – 8.12.1955, Цюрих) создал векторную аксиоматику геометрии. У Вейля первоначальными являются понятия «точка» и «вектор», а прямая и отрезок определяются с их помощью. Имеются аксиомы сложения векторов (означающие, что векторы образуют коммутативную группу), аксиомы умножения вектора на действительное число, аксиомы откладывания векторов (в частности, аксиома треугольника: ), аксиомы скалярного произведения векторов и аксиома размерности (для планиметрии в ней утверждается: если даны три ненулевых вектора ,  и , то какой-нибудь из них выражается в виде комбинации двух других: ). При заданных точке А и ненулевом векторе  прямая (А, ) определяется как множество всех точек М, для которых вектор  пропорционален , то есть найдётся такое действительное число t, что . Далее определяются отрезки, углы, многоугольники, окружность и другие фигуры: например, расстояние между А и В – как квадратный корень из скалярного квадрата вектора , то есть . Теорема Пифагора легко доказывается с помощью скалярного произведения, а аксиома параллельности – с помощью векторного определения прямой и аксиомы разномерности.

В заключение отметим, что гильбертова аксиоматика полностью уточнила не вполне совершенную систему аксиом, созданную Евклидом более двух тысяч лет тому назад. Аксиоматика Фридриха Шура и аксиоматика Германа Вейля связали геометрию с понятиями группы преобразований и векторного пространства, которые играют важнейшую роль во многих разделах современной математики, физики, экономики, химии, биологии и других областей знания.

 

Глава II. Неевклидовы геометрии в системе Вейля

 

2.1 Элементы сферической геометрии

 

В этом пункте рассмотрены элементы так называемой сферической геометрии - геометрии сферы евклидова пространства. Кратчайшими (геодезическими) или прямыми линиями на сфере являются большие окружности, т. е. такие окружности, плоскости которых проходят через центр данной сферы.

Так как любые два больших круга пересекаются, то в сферической геометрии не осуществляется ни постулат Евклида, ни аксиома параллельности Лобачевского. В этой геометрии не выполняется также ряд других фактов абсолютной геометрии.

Например, прямые в сферической геометрии замкнуты и на них невозможно установить понятие точки, лежащей «между» для трех точек, инцидентных прямой, так как каждую из этих точек на окружности можно считать точкой, лежащей между двумя другими. Две точки на большом круге определяют два отрезка и прямые имеют конечную длину. Таким образом, аксиомы порядка в сферической геометрии должны описывать свойства циклического расположения точек на прямой. И все же, несмотря на указанные различия в сферической геометрии имеется много свойств, аналогичных соответствующим свойствам в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Эти геометрии, включая и геометрию достаточно малых кусков сферы, в основных вопросах не противопоставляются между собою, а копируют друг друга.

Возьмем на сфере три точки А, В, С, не лежащие в одной плоскости с центром О данной сферы. Совокупность этих точек и дуг АВ, ВС и АС больших окружностей, меньших полуоборота, называется сферическим треугольником АВС. Точки А, В, С называются вершинами сферического треугольника, а дуги, АВ, ВС, АС — его сторонами. Углом А сферического треугольника АВС называется, угол между касательными, проведенными к дугам АВ и АС в точке их пересечения А. Очевидно, этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями больших окружностей АВ и АС. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью трехгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. В самом деле, в пересечении сферы с гранями данного трехгранного угла получим сферический треугольник.

Из школьного курса геометрии известно, что в трехгранном угле любой его плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности. В геометрии сферы этому предложению соответствует следующая теорема. Во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон и больше их разности.

На основании этой теоремы, как и в обычной планиметрии, доказывается, что в сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, обратно, против большего угла лежит большая сторона.

В этой геометрии имеются сферические двуугольники — фигуры более простые, чем сферические треугольники. Сферический двуугольник, по определению, представляет часть сферы, ограниченную двумя большими полуокружностями, пересекающимися в двух диаметрально противоположных точках.

Симметрия сферы относительно диаметральной плоскости и поворот ее вокруг диаметра на данный угол, очевидно, представляют собой примеры преобразований сферы, при которых расстояния между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами. Приведем общее определение.

Преобразования сферы, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя ее точками, называются движениями. Сферическая геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при любых движениях сферы.

Полярные треугольники

Всякая плоскость , проходящая через центр сферы, пересекает эту сферу по большой окружности. Концы А, А' диаметра, перпендикулярного плоскости , называются полюсами этой окружности. В этом случае большая окружность называется полярой точек А и А'.

Очевидно, все точки поляры удалены от своего полюса на расстояние, равное R /2, где R обозначает радиус данной сферы. Ясно также, что если данная точка удалена от двух точек большой окружности на расстояние R /2, то она является полюсом этой большой окружности. Перейдем теперь к определению полярного треугольника.

Если вершины треугольника АВС являются полюсами сторон другого сферического треугольника А₁В₁С₁, то этот последний называется полярным треугольником по отношению к данному.

Таким образом, радиус-вектор  перпендикулярен векторам  и , т. е.

 

 

Аналогично будем иметь

 

 

Отсюда следует, что если треугольник А₁В₁С₁ будет полярным к треугольнику АВС, то треугольник АВС в свою очередь будет полярным по отношению к треугольнику А₁В₁С₁.

Таким образом, сферические треугольники АВС и А₁В₁С₁, взаимно полярны друг другу.

Будем обозначать вершины и углы сферического треугольника большими буквами латинского алфавита А, В, С, а противоположные им стороны — соответствующими малыми буквами того же алфавита а, Ь, с. Вершины и противоположные им стороны полярного треугольника будем обозначать теми же буквами с индексами А₁, В₁, С₁, соответственно a ₁, b ₁, c ₁.

Линейные элементы треугольника здесь и в дальнейших формулах входят в виде отношений к радиусу сферы, поэтому целесообразно ввести следующее понятие приведенной длины. Расстояние между двумя точками на сфере, отнесенное к ее радиусу, будем называть приведенным расстоянием.

Докажем следующее предложение о взаимно полярных треугольниках.

Теорема. Угол одного сферического треугольника и соответствующая ему приведенная сторона взаимно полярного треугольника дополняют друг друга до , т. е.

 

 

и т. д. Так как

 

 (*)

 

То из (*) следует, что

 

 

Таким образом, выводим

 

Аналогично доказываются остальные равенства:

 

 

Перейдем к выводу некоторых формул сферической геометрии.

Вторая теорема косинусов

Предположим, что сферический треугольник А₁В₁С₁, является полярным к данному треугольнику АВС. Применяя к нему теорему косинусов, получим

 

 

Но в силу формул (см. Полярные треугольники), имеем

 

Заменяя в предыдущем равенстве стороны и углы только что выписанными выражениями, получим

 

 

Или

 

 (*)

 

Формула и составляет содержание 2-й теоремы косинусов: Косинус угла сферического треугольника равен произведению косинусов двух других углов, взятому с обратным знаком, и сложенному с произведением синусов тех же углов на косинус приведенной противоположной стороны. Аналогичные две формулы можно получить круговой заменой линейных и угловых элементов данного треугольника АВС.

Из второй теоремы косинусов следует, что в сферической геометрии не существует неравных треугольников с соответственно равными углами. Другими словами, если углы, одного сферического треугольника равны соответствующим углам другого сферического треугольника, то такие треугольники равны.

В заключение установим лишь совпадение формул сферической геометрии для фигур с малыми линейными размерами с соответствующими формулами евклидовой геометрии.

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек М(х, у, z ), отстоящих от данной точки А(х₁, у_1, z ₁ ) на данное расстояние r. Точка A называется центром окружности, r - ее радиусом.

К понятию окружности можно прийти другим путем, отправляясь от пучков прямых и соответствующих точек на прямых данного пучка. Эти вспомогательные понятия здесь вводятся так же, как в геометрии Лобачевского. Совокупность прямых, пересекающихся в данной точке A, называется пучком прямых первого рода. Точка А называется центром пучка. Пучком прямых второго рода называются прямые плоскости, перпендикулярные данной прямой а. Нетрудно убедиться, что эти пучки двойственны друг другу. В самом деле, поляра центра пучка прямых первого рода ортогонально пересекает все прямые пучка и рассматриваемая совокупность прямых является пучком прямых второго рода. Обратно, прямые пучка второго рода проходят через полюс оси пучка и составляют пучок прямых первого рода. Таким образом, всякий пучок прямых одновременно является пучком первого и второго рода. Предположим, что точки М и N лежат соответственно на прямых тиn данного пучка прямых. Эти точки М, N называются соответствующими, если отрезок МN образует равные односторонние углы с прямыми т и n. Простейшая кривая здесь определяется так же, как в планиметрии Лобачевского. Эта кривая по определению является множеством точек, соответствующих точке М на прямой т данного пучка. Полученная таким образом простейшая кривая одновременно является окружностью радиуса r с центром в точке А и эквидистантой с высотой r ' = R /2 — r. Можно установить, что окружность ортогонально рассекает прямые своего пучка.

Из (2.1) следует, что уравнение окружности (рис.9) с центром в точке А(х₁, у₁, z ₁ ) и радиусом r < R /2 приводится к виду:

 

 . (2.4)

 

Наличие двойного знака объясняется тем, что правая часть положительна, а выражение в скобках может иметь значение разных знаков.

Заметим, что множество точек, равноудаленных от двух точек A, В, состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через полюс прямой, определенной данными точками. Одна из этих прямых делит пополам один отрезок АВ, а другая - дополнительный. Отсюда вытекает существование одной и только одной окружности, описанной около заданного треугольника АВС. В частности, три точки, не принадлежащие прямой, определяют на эллиптической плоскости четыре треугольника. Таким образом, через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, можно провести четыре окружности, которые на сферической модели определяются следующими тройками точек: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, где А', В', С' обозначают точки, диаметрально противоположные соответственно к точкам А, В, С.

Рассмотрим вкратце свойства пар окружностей в эллиптической плоскости. В сферической геометрии две окружности, как и в евклидовой плоскости, могут не пересекаться друг с другом, касаться или пересекаться в двух точках. В эллиптической геометрии свойства пар окружностей более многообразны. Чтобы убедиться в этом, предположим, что эллиптическая плоскость интерпретирована в виде сферы, у которой диаметрально противоположные точки отождествлены. В этом случае, окружность эллиптической плоскости представляется на такой сфере в виде двух окружностей, лежащих в параллельных и равноудаленных от центра сферы плоскостях. Обратно, две окружности, полученные от пересечения сферы симметрическими относительно ее центра плоскостями, изображают в эллиптической геометрии одну окружность. Сделанные замечания позволяют составить представление о новых случаях взаимных положений двух окружностей по сравнению с сферической или евклидовой планиметрией.

2.3 Геометрия Лобачевского в системе Вейля

 

О псевдоевклидовой планиметрии

а) В евклидовой плоскости, как известно, формула квадрата расстояния между двумя точками М(х₁, х₂) и N(у₁, у₂) в декартовой, прямоугольной системе координат представляется в виде

 

d ( M, N )²=( y ₁ - x ₁ )²+( y ₂ - x ₂ )².  (3.1)

 

Угол  между векторами ОМ и ОN вычисляется из соотношения

 

. (3.2)

 

Первая формула по существу выражает теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными абсолютным величинам  и гипотенузой М N. Вторая же формула представляет собою формулу косинуса разности углов, образованных соответственно ОМ и ON c координатным вектором .

Теперь изменим формулы (3.1) и (3.2) и будем определять расстояние между указанными двумя точками и величины данных углов по формулам соответственно

d ( M, N )=( y ₁ - x ₁ )² - ( y ₂ - x ₂ )²(3.3)

 (3.4)

 

Прежние пары точек теперь будут иметь другие расстояния» а прежние углы – другие величины. Это по существу новая своеобразная двухмерная геометрия.

Чтобы подчеркнуть наличие другой метрики и не путать новые расстояния и величины углов со старыми, условимся называть координатную плоскость ( x ₁, x ₂ ) формулами (3.3), (3.4) псевдоевклидовой плоскостью.

123456Следующая ⇒

Поделиться: