Из трёх «точек», лежащих на одной «прямой», одна и только одна расположена между двумя другими.

Выполняются и другие аксиомы порядка (в частности, аксиома Паша). Заметим, что мы специально не иллюстрируем содержание аксиом чертежами, поскольку при чисто аксиоматическом изложении не следует использовать привычные геометрические представления.

Будем говорить, что две «прямые» a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0 и a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0 «параллельны», если коэффициенты a₁, b₁ и a₂, b₂ пропорциональны. Это можно кратко записать равенством a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ = 0. Нетрудно проверить, что две «параллельные» «прямые» либо не имеют ни одной общей «точки», либо совпадают (в обычной геометрии тоже часто принимают, что прямая параллельна самой себе). Более того,

4. Через любую «точку» A ₁ ( x ₁; y ₁ ) проходит одна и только одна «прямая», параллельная данной «прямой» Ax + By + C = 0.

Иначе говоря, в указанной модели выполняется аксиома параллельности. Можно здесь говорить и о длинах отрезков, и о величинах углов. Например, «расстоянием» между двумя «точками» A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂) называется число

 

A ₁ A ₂ =

 

Далее, в привычной евклидовой геометрии справедлива теорема косинусов:

cos C =

(величина угла С равна арккосинусу правой части равенства. Можно возразить, что тригонометрические функции (и, в частности, косинус) определяются геометрически и обойтись без обычной евклидовой геометрии в данном случае невозможно. Однако это неверно. В математическом анализе доказывается, что функция cos x задаётся бесконечным рядом

 

cos x = ,

 

который сходится для любого действительного x. Таким образом, в рассматриваемой модели допустимо говорить и о расстояниях, и о величинах углов.

Так же легко проверить, что в ней выполняются и аксиомы конгруэнтности (в частности, первый и второй признаки равенства треугольников). В итоге все гильбертовы аксиомы (представляющие собой развитие и уточнение аксиом Евклида) в рассматриваемой модели выполняются. Это и означает, что система аксиом евклидовой геометрии условно непротиворечива. Другими словами, она непротиворечива, если непротиворечива теория действительных чисел.

 

1.4 Другие системы аксиом геометрии

 

Вернёмся, однако, к евклидовой геометрии. В настоящее время систему аксиом Гильберта часто заменяют эквивалентной ей системой. Мы приведём те группы аксиом одной такой системы, по которым она отличается от вышеизложенной системы (группы аксиом порядка и движения, заменяющей в этой системе группу аксиом конгруэнтности).

Преимущество этой системы заключается в том, что она позволяет проще и быстрее получить первоначальные геометрические факты, лучше, как многим кажется, описывает свойства основных геометрических объектов с точки зрения привычных представлений.

II. Аксиомы порядка

Будем полагать, что на прямой есть два направления, взаимно противоположных друг другу, и по отношению каждому из них каждая пара точек А и В находится в известном отношении, которое выражается словом «предшествовать». Это отношение обозначается знаком <, так что выражение «А предшествует В» можно символически записать так:

 

А < B.

 

Требуется, чтобы указанное отношение для точек на прямой удовлетворяло нижеследующим пяти аксиомам.

II, 1. Если А < В в одном направлении, то В < А в противоположном направлении.

II, 2. В одном из двух направлений А < В исключает В < А.

II, 3. В одном из двух направлений если А < В и В < С, то А < С.

II, 4. В одном из двух направлений для каждой точки В найдутся точки А и С такие, что А < B < C.

Каждое из утверждений аксиом II, 2 – 4 относится к одному из двух направлений на прямой. По аксиоме II, 1 оно верно также и для противоположного направления.

Прежде чем сформулировать последнюю аксиому, определим некоторые понятия. Пусть а – прямая и А – точка на ней. При фиксированном направлении на прямой точка А разбивает её на две части (полупрямые), для каждой точки Х одной из них Х < А, а для каждой точки Х другой полупрямой А < X. Очевидно, это разбиение прямой на части не зависит от выбранного на ней направления (аксиома II, 1).

Пусть А и В – две точки прямой а. Если для точки С прямой а выполняется условие А < C < В или В < C < А, то мы будем говорить, что точка С лежит между точками А и В. Очевидно, свойство точки лежать между двумя данными не зависит от направления на прямой. Часть прямой а, все точки которой лежат между А и В, мы будем называть отрезком АВ, а точки А и В – концами отрезка.

II, 5. Прямая а, лежащая в плоскости α, разбивает эту плоскость на две полуплоскости так, что если X и Y – две точки одной полуплоскости, то отрезок XY не пересекается с прямой а, если же X и Y принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок XY пересекается с прямой а.

Из аксиом принадлежности (связи), которые в этой системе аксиом аналогичны аксиомам принадлежности Гильберта, и аксиом порядка выводятся следующие следствия.

Теорема 1. Среди точек А, В, С на прямой а одна и только одна лежит между двумя другими.

Теорема 2. Каждый отрезок содержит по крайней мере одну точку.

Теорема 3. Если В – точка отрезка АС, то отрезки АВ и ВС принадлежат АС, т. е. каждая точка отрезка АС и каждая точка отрезка ВС принадлежит отрезку АС.

Теорема 4. Если В – точка отрезка АС и X – точка того же отрезка, отличная от В, то она принадлежит либо отрезку АВ, либо ВС.

Теорема 5. Пусть α – плоскость, и а – лежащая на ней прямая, b – другая прямая, или полупрямая, или отрезок в той же плоскости α .

Тогда, если b не пересекает а, то все точки b лежат по одну сторону от а, т. е. в одной из полуплоскостей, определяемых прямой а.

Пусть А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой. Фигура, составленная из трёх отрезков АВ, ВС и АС называется треугольником, точки А, В и С – вершинами треугольника, а отрезки АВ, ВС и АС – сторонами треугольника.

Теорема 9. Пусть АВС – треугольник в плоскости α и а – прямая в этой плоскости, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если эта прямая пересекает сторону АВ, то она пересекает и притом только одну из двух других сторон ВС или АС.

Нельзя не заметить, что последняя приведённая теорема почти аналогична аксиоме Паша, входящей в систему Гильберта (см. страницу 9), и отличается от неё только тем, что в аксиоме не утверждается единственность второй пересекаемой стороны треугольника.

III. Аксиомы движения

В данной системе группа аксиом конгруэнтности заменена этой группой аксиом. Впрочем, третьи группы аксиом обоих систем в конечном итоге выполняют одну и ту же задачу, определяя разными способами одни и те же явления (группа аксиом конгруэнтности у Гильберта определяет отношения конгруэнтности напрямую, аксиомы движения – через свои следствия).

Итак, будем требовать, чтобы существовали такие отражения точек, прямых и плоскостей на точки, прямые и плоскости, именуемые движениями, удовлетворяющие следующим аксиомам.

III, 1. Каждое движение Н сохраняет отношение принадлежности.

То есть, если точка А принадлежит прямой а (плоскости α ), то её образ при движении Н (обозначаемый НА) принадлежит образу прямой На (соответственно образу плоскости Нα ).

III, 2. Каждое движение Н сохраняет отношение порядка на прямой.

Это означает, как, наверное, уже догадался читатель, что каждому из двух направлений на прямой а можно сопоставить такое направление на прямой На, что каждый раз, когда для точек X и Y прямой а имеет место X < Y, для соответствующих им точек прямой На имеет место HX < HY.

Из этих двух аксиом следует, что каждое движение переводит полупрямую в полупрямую, полуплоскость в полуплоскость.

III, 3. Движения образуют группу.

Это значит:

а) Сопоставление Н⁰ каждому элементу х (точке, прямой, плоскости) его самого есть движение. Это движение называется тождественным.

б) Если движение Н₁ сопоставляет произвольному элементу х элемент y, а движение Н₂ сопоставляет y элемент z, то сопоставление элементу х элемента z есть движение. Оно обозначается Н₂Н₁ и называется произведением движений.

в) Для каждого движения Н существует движение Н^-1 такое, что Н^-1Н=Н⁰. Движение Н^-1 будем называть обратным.

III, 4. Если при движении Н прямая h, как целое, и её начальная точка А остаются неподвижными, то все точки полупрямой h остаются неподвижными.

III, 5. Для каждой пары точек А и В существует движение Н, которе переставляет их местами: НА=В, НВ=А

III, 6. Для каждой пары лучей h, k (полупрямых), исходящих из одной точки, существует движение Н, их переставляющее: Н h = k, Hk = h.

III, 7. Пусть α и β – любые плоскости, а и b – прямые в этих плоскостях, А и В – точки на прямых а и b. Тогда существует движение, которое переводит точку А в В, заданную полупрямую прямой а, определяемую точкой А, - в заданную полупрямую прямой b, определяемую точкой В, заданную полуплоскость плоскости α , определяемую прямой а, – в заданную полуплоскость плоскости β , определяемую прямой b.

Теорема 10. Пусть α – плоскость, и а – принадлежащая ей прямая. Тогда если движение Н переводит каждую из полуплоскостей плоскости α , определяемых прямой а, в себя и оставляет неподвижными точки прямой а, то оно является тождественным.

Действительно, тождественное движение Н⁰ обладает указанными в теореме свойствами Н, а следовательно, по аксиоме III, 7 совпадает с ним.

Определим теперь понятие конгруэнтности. Фигуру F ₁ мы будем называть конгруэнтной фигуре F ₂, если существует движение Н, переводящее F ₁ в F ₂: HF ₁ = F ₂. Из групповых свойств движения (аксиома III, 3) вытекают следующие свойства отношения конгруэнтности:

1. Каждая фигура F конгруэнтна сама себе.

Действительно, тождественное движение Н⁰ переводит F в F.

2. Если фигура F ₁ конгруэнтна F ₂, то фигура F ₂ конгруэнтна F ₁.

В самом деле, если Н – движение, переводящее фигуру F ₁ в F ₂, то движение Н^-1 переводит фигуру F ₂ в фигуру F ₁.

3. Если фигура F ₁ конгруэнтна F ₂, а фигура F ₂ конгруэнтна фигуре F ₃, то фигура F ₁ конгруэнтна F ₃.

Действительно, если Н' – движение, переводящее фигуру F ₁ в F ₂, а Н'' – движение, переводящее фигуру F ₂ в F ₃, то движение Н''Н' переводит F ₁ в F ₃.

Впервые подобную систему предложил спустя десять после появления гильбертовой аксиоматики Фридрих Шур.

Спустя ещё десять лет немецкий математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Эльмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, – 8.12.1955, Цюрих) создал векторную аксиоматику геометрии. У Вейля первоначальными являются понятия «точка» и «вектор», а прямая и отрезок определяются с их помощью. Имеются аксиомы сложения векторов (означающие, что векторы образуют коммутативную группу), аксиомы умножения вектора на действительное число, аксиомы откладывания векторов (в частности, аксиома треугольника: ), аксиомы скалярного произведения векторов и аксиома размерности (для планиметрии в ней утверждается: если даны три ненулевых вектора ,  и , то какой-нибудь из них выражается в виде комбинации двух других: ). При заданных точке А и ненулевом векторе  прямая (А, ) определяется как множество всех точек М, для которых вектор  пропорционален , то есть найдётся такое действительное число t, что . Далее определяются отрезки, углы, многоугольники, окружность и другие фигуры: например, расстояние между А и В – как квадратный корень из скалярного квадрата вектора , то есть . Теорема Пифагора легко доказывается с помощью скалярного произведения, а аксиома параллельности – с помощью векторного определения прямой и аксиомы разномерности.

В заключение отметим, что гильбертова аксиоматика полностью уточнила не вполне совершенную систему аксиом, созданную Евклидом более двух тысяч лет тому назад. Аксиоматика Фридриха Шура и аксиоматика Германа Вейля связали геометрию с понятиями группы преобразований и векторного пространства, которые играют важнейшую роль во многих разделах современной математики, физики, экономики, химии, биологии и других областей знания.

 

Глава II. Неевклидовы геометрии в системе Вейля

 

2.1 Элементы сферической геометрии

 

В этом пункте рассмотрены элементы так называемой сферической геометрии - геометрии сферы евклидова пространства. Кратчайшими (геодезическими) или прямыми линиями на сфере являются большие окружности, т. е. такие окружности, плоскости которых проходят через центр данной сферы.

Так как любые два больших круга пересекаются, то в сферической геометрии не осуществляется ни постулат Евклида, ни аксиома параллельности Лобачевского. В этой геометрии не выполняется также ряд других фактов абсолютной геометрии.

Например, прямые в сферической геометрии замкнуты и на них невозможно установить понятие точки, лежащей «между» для трех точек, инцидентных прямой, так как каждую из этих точек на окружности можно считать точкой, лежащей между двумя другими. Две точки на большом круге определяют два отрезка и прямые имеют конечную длину. Таким образом, аксиомы порядка в сферической геометрии должны описывать свойства циклического расположения точек на прямой. И все же, несмотря на указанные различия в сферической геометрии имеется много свойств, аналогичных соответствующим свойствам в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Эти геометрии, включая и геометрию достаточно малых кусков сферы, в основных вопросах не противопоставляются между собою, а копируют друг друга.

Возьмем на сфере три точки А, В, С, не лежащие в одной плоскости с центром О данной сферы. Совокупность этих точек и дуг АВ, ВС и АС больших окружностей, меньших полуоборота, называется сферическим треугольником АВС. Точки А, В, С называются вершинами сферического треугольника, а дуги, АВ, ВС, АС — его сторонами. Углом А сферического треугольника АВС называется, угол между касательными, проведенными к дугам АВ и АС в точке их пересечения А. Очевидно, этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями больших окружностей АВ и АС. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью трехгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. В самом деле, в пересечении сферы с гранями данного трехгранного угла получим сферический треугольник.

Из школьного курса геометрии известно, что в трехгранном угле любой его плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности. В геометрии сферы этому предложению соответствует следующая теорема. Во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон и больше их разности.

На основании этой теоремы, как и в обычной планиметрии, доказывается, что в сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, обратно, против большего угла лежит большая сторона.

В этой геометрии имеются сферические двуугольники — фигуры более простые, чем сферические треугольники. Сферический двуугольник, по определению, представляет часть сферы, ограниченную двумя большими полуокружностями, пересекающимися в двух диаметрально противоположных точках.

Симметрия сферы относительно диаметральной плоскости и поворот ее вокруг диаметра на данный угол, очевидно, представляют собой примеры преобразований сферы, при которых расстояния между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами. Приведем общее определение.

Преобразования сферы, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя ее точками, называются движениями. Сферическая геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при любых движениях сферы.

Полярные треугольники

Всякая плоскость , проходящая через центр сферы, пересекает эту сферу по большой окружности. Концы А, А' диаметра, перпендикулярного плоскости , называются полюсами этой окружности. В этом случае большая окружность называется полярой точек А и А'.

Очевидно, все точки поляры удалены от своего полюса на расстояние, равное R /2, где R обозначает радиус данной сферы. Ясно также, что если данная точка удалена от двух точек большой окружности на расстояние R /2, то она является полюсом этой большой окружности. Перейдем теперь к определению полярного треугольника.

Если вершины треугольника АВС являются полюсами сторон другого сферического треугольника А₁В₁С₁, то этот последний называется полярным треугольником по отношению к данному.

Таким образом, радиус-вектор  перпендикулярен векторам  и , т. е.

 

 

Аналогично будем иметь

 

 

Отсюда следует, что если треугольник А₁В₁С₁ будет полярным к треугольнику АВС, то треугольник АВС в свою очередь будет полярным по отношению к треугольнику А₁В₁С₁.

Таким образом, сферические треугольники АВС и А₁В₁С₁, взаимно полярны друг другу.

Будем обозначать вершины и углы сферического треугольника большими буквами латинского алфавита А, В, С, а противоположные им стороны — соответствующими малыми буквами того же алфавита а, Ь, с. Вершины и противоположные им стороны полярного треугольника будем обозначать теми же буквами с индексами А₁, В₁, С₁, соответственно a ₁, b ₁, c ₁.

Линейные элементы треугольника здесь и в дальнейших формулах входят в виде отношений к радиусу сферы, поэтому целесообразно ввести следующее понятие приведенной длины. Расстояние между двумя точками на сфере, отнесенное к ее радиусу, будем называть приведенным расстоянием.

Докажем следующее предложение о взаимно полярных треугольниках.

Теорема. Угол одного сферического треугольника и соответствующая ему приведенная сторона взаимно полярного треугольника дополняют друг друга до , т. е.

 

 

и т. д. Так как

 

 (*)

 

То из (*) следует, что

 

 

Таким образом, выводим

 

Аналогично доказываются остальные равенства:

 

 

Перейдем к выводу некоторых формул сферической геометрии.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: