Равновесие нити на поверхности при наличии трения

Задача о равновесии нити на шероховатой поверхности ставится обычно следующим образом:

Дано: активная сила , коэффициент трения k, конфигурация нити на поверхности.

Определить: натяжение нити Т; условия равновесия нити на поверхности.

Предполагаем, что силы трения подчинены закону трения Амонтона- Кулона. Сила трения между поверхностью и нитью расположена в касательной плоскости I (рис. 1.7). Пусть сила составляет с направлением касательной угол γ . Считаем, что отсчет дуговой координаты s идет в сторону убывания натяжения (Т_А> Т_В). Тогда угол .

Уравнение равновесия нити в проекциях на оси естественного трехгранника, связанного в точке М с поверхностью:

(1.21)

Рис. 1.7

К этим уравнениям нужно добавить условие, которому должна удовлетворять сила трения: , где знак равенства отвечает предельному равновесию. Неизвестными величинами являются натяжение нити Т, нормальное давление N, сила трения , угол γ .

Решение дифференциальных уравнений равновесия нити

Цепная линия

Цепная линяя – это линяя равновесия абсолютно гибкой однородной нерастяжимой нити, находящейся в поле силы тяжести (рис.2.1).

h - превышение опор;

q - вес погонного метра нити;

L - длина нити;

l - длина пролета;

Координаты верхней опоры А цепной линии: б)

δ – по горизонтали;

f - по вертикали (стрела провисания).

а)

Рис. 2.1

а) Цепная линяя, параметры цепной линии;

б) Форма швейной нити на участке между

нитенатяжителем и нитедержателем.

Задача 1.

Определить натяжение нити в точке А закрепления цепной линии, если вес погонного метра нити в q=0, 8Н/м, стрела провисания f=2м, а натяжение нити в вершине О цепной линии равно Т₀=1, 6 Н.

Решение.

Натяжение нити в верхней точке А, где y _А = f, определяется формулой

. (2.1)

Заметим, что натяжение нити в вершине о цепной линии равно

Т₀=Н= qa, (2.2)

откуда находим параметр а:

получим

Задача 2.

Натяжение нити в верхней опоре А цепной линии равно Т_А=6, 4Н, погонный вес нити q =0, 8Н/м, стрела провисания f =2м. Определить натяжение нити в точке М, где угол наклона касательной к горизонтальной оси Ох равен 30⁰.

Решение.

Натяжение нити в верхней точке А нитиопределяется формулой

Откуда можно определить горизонтальную составляющую Н натяжения, которая одинакова во всех точках нити.

Тогда натяжение нити в заданной точке М находим, как следует из рисунка по формуле

Задача 3.

Определить стрелу провисания f цепной линии, горизонтальную составляющую натяжения Н, и реакции в опорах А и В. Опоры А и В находятся на расстоянии l = 65 м, превышение h =20 м, погонный вес нити q =7, 85 Н/м, длина нити L = 100 м.

Решение.

1). Стрела провисания цепной линии определяется формулой

(2.4)

где параметр а можно определить как:

(2.5)

Чтобы определить параметр a, воспользуемся уравнением

(2.6)

Вычислим коэффициент k по формуле

Корень ξ уравнения (2.6) определим методом интерполяции по таблице [3]:


…	…
1, 500	1, 622
1, 550	1, 692
…	…

Параметр а, согласно ф. (2.5) равен

(м).

Так как отношение h/L=20/100=0, 2, то для определения δ можно воспользоваться формулой

(2.7)

Определим .

Подставляя найденные величины в формулу (2.4), находим:

м.

2). Горизонтальная составляющая натяжения

Н= аq=19, 91·7, 85=156, 29 (Н).

3). Реакции в опорах А и В по модулю равны натяжению нити в этих точках:

R_А= (2.8)

R_в= (2.9)

(Н),

Задача 4.

Однородная гибкая нить закреплена в точках А и В, отстоящих друг от друга по горизонтали на расстояние l=40м. Отношение превышения между опорами к длине нити равно , .Определить длину нити L, превышение h опор, а также координаты δ и f верхней опоры А.