Равновесие нити на поверхности

Задача 1. Невесомая нить находится в равновесии на шероховатой цилиндрической поверхности (рис 2.5). Коэффициент трения равен k=0, 1, угол охвата φ =120⁰. Натяжение нити на конце А равно Т_А = 10 Н. Определить натяжение нити на конце В.

Решение.

Составим дифференциальное равновесие нити в проекциях на оси естественного трехгранника, связанного с поверхностью (1.21).

Из последнего уравнения находим υ = 0, т.е. угол геодезического отклонения равен нулю, нить располагается по горизонтальной кривой и ρ = R.

Рис.2.5

Из второго уравнения находим давление  Сила трения согласно закону Амонтона  Подставляя в первое уравнение, получим:

Интегрируя, находим   

или

     

Окончательно получаем натяжение .

 

Задача 2.

Однородная гибкая нить находится на гладкой цилиндрической поверхности радиуса R = 0, 1 м, огибая её снизу (рис.2.6). Вес нити, отнесённый к единице длины q = 0, 2 Н/м, натяжение в точке А равно 0, 1 Н.  Определить натяжение нити в точках В и С, где углы охвата, соответственно, равны

 φ _В = 180⁰ и φ _С = 60⁰.

	Рис.2.6

Решение.

Составим дифференциальные уравнения равновесия нити в проекции на оси естественного трехгранника (1.20).

 

 

Решая первое уравнение, учитывая, что ds = Rdφ , dT = - qcosφ · Rdφ ,

Интегрируя, находим Т = - qRsinφ + C ₁

Учитывая, что при φ = 0 Т = Т_А, находим С₁ = Т_А. Тогда натяжение в любой точке нити равно Т = Т_А – qRsinφ .

Натяжение в т. В Т_В = Т_А – qRsin 180⁰ = T_A

Натяжение в т. С Т_С = Т_А – qRsin 60⁰ = 0, 1 – 0, 2·0, 1·0, 866 = 0, 083 Н.

 

Задача 3.

Невесомая нить находится в равновесии на шероховатой поверхности кругового конуса, угол между образующей и осью которого равен α = 45⁰. Нить охватывает конус по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси конуса (рис.2.6).

Определить коэффициент трения поверхности.

 

Рис.2.6

Решение.

 

Составим уравнения равновесия нити на шероховатой поверхности в проекциях на оси естественного трехгранника, связанного с поверхностью, согласно (2.21)

, при  ρ =R.

Из второго уравнения с учетом закона Амонтона находим  и подставляем в третье уравнение:

 откуда

Из полученного неравенства следует, что

Как как имеем ,   и , следовательно

k ≥ tg45⁰, т.е. k ≥ 1.

 

Задача 4.

Однородная нерастяжимая нить, весом которой можно пренебречь, огибает шероховатую поверхность цилиндра. Коэффициент трения нити на поверхности k=0, 3. Натяжение конца А нити равно . Определить натяжение нити на конце В.

Решение.

Рассмотрим равновесие нити на шероховатой поверхности шкива (рис. 2.8). Начало отсчета дуговой координаты совместим с точкой А. За положительное направление отсчета дуговой координаты примем направление против хода часовой стрелки.

Выберем произвольно точку М и покажем действующие на нить силы, отнесенные к единице длины.

 

Рис. 2.8

 

Касательную ось  направим в сторону меньшего натяжения, считая, что натяжение нити в точке В меньше, чем в точке А. Силу трения  направим по касательной в сторону уменьшения натяжения, то есть также к точке В. Нормальное давление  направим по общей нормали, в противоположную сторону.

Составим дифференциальные уравнения равновесия нити в проекциях на оси естественного трехгранника. Нить расположена по геодезической кривой цилиндра, поэтому угол геодезического отклонения  равен нулю, а радиус кривизны нити равен радиусу цилиндра ρ =R.

                                        (2.35)

Выразим из второго уравнения системы нормальное давление:    

и выразив силу трения .

подставим ее выражение в первое уравнение системы:

Заменим ds=Rdφ и получим:

Умножая на Rdφ и деля на Т, получим: .

Проинтегрируем неравенство:

                                           (2.36)

Для определения постоянной интегрирования С₁, рассмотрим граничные условия в точке А: , . Подставляя граничные условия в неравенство (2.36) и заменяя его равенством, получим:

, то есть С₁= .

Подставляя значение С₁ в неравенство (2.36), учитывая, что разность логарифмов равна логарифму соотношения и потенцируя полученное неравенство, находим натяжение в любой точке нити на участке АВ:

 ,

,

, ,

                                                  (2.37)

Найдем натяжение в точке В, для которой ,

                                                    (2.38)

Подставив численные значения, получим условие для натяжения в точке В:

,  Н.                                                      

Задача 5.

Однородная нерастяжимая нить, весом которой можно пренебречь, огибает шероховатую поверхность кругового конуса 2 по окружности, перпендикулярной оси конуса (рис.2.9). Угол наклона образующей конуса к его оси равен α =10◦ . Коэффициент трения нити на поверхность конуса k=0, 2. К концу А нити прикреплен груз 1 весом Р=15Н. К концу D нити прикреплен груз 3 весом G, находящийся на шероховатой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения груза на плоскости f=0, 4. Определить вес G груза 3, необходимый для уравновешивания системы. Свободные участки нити считать прямолинейными.   Решение. Разобьем длину нити на пять участков: груз 1, свободный участок АВ, участок ВС на шероховатой поверхности конуса, свободный участок CD, груз 3 на шероховатой горизонтальной плоскости. Примем, что натяжение в точке А нити больше, чем натяжение в точке D, ТА> ТD. 1. Рассмотрим равновесие груза 1.     Рис. 2.10 Примем точку А за начало декартовой системы координат и направим ось Ах вертикально вверх. Запишем уравнение равновесия груза в проекции на ось Ах:

, ;                                       (2.39)

Выразим натяжение Т_А точки А нити: .                                   

Подставив численное значение веса груза 1, получим натяжение Т_А:

 Н.

2. Рассмотрим равновесие участка АВ. Примем точку А за начало декартовой системы координат и направим ось Ах вертикально вверх.

 

 

Рис. 2.11

Натяжение невесомой прямолинейной нити одинаково в каждой точке нити, следовательно

.

Получим натяжение в точке В нити:  Н.                                                       

3. Рассмотрим  равновесие  нити  шероховатой поверхности конуса 2 (рис. 2.12). Начало отсчета дуговой координаты совместим с точкой В. За положительное направление отсчета дуговой координаты примем направление против хода часовой стрелки.

 

Рис. 2.12

 

Выберем произвольно точку М и покажем действующие на нить силы, отнесенные к единице длины. Касательную ось  направим в сторону меньшего натяжения, к точке С, так как приняли, что Т_А> Т_D. Силу трения  направим в касательной плоскости в сторону убывания натяжения. Нормаль к нити направим к центру кривизны нити СВ, перпендикулярно оси ОО₁ конуса. Нормаль к поверхности конуса направлена перпендикулярно образующей О₁М. Нормальное давление  направим по нормали к поверхности, в противоположную сторону. В данном случае угол геодезического отклонения Θ между нормалями равен углу наклона α образующей О₁М к оси ОО₁ конуса, как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами.

Радиус кривизны нити ρ равен радиусу рассматриваемой окружности конуса R.

     Запишем условия равновесия нити на круговом конусе:

1). При отсутствии активных сил (Р=0) для равновесия нити на шероховатой поверхности, необходимо, чтобы коэффициент трения нити был не меньше угла геодезического отклонения , так как , то [2].

     В нашем случае это условие выполняется .

2). Для натяжения точек нити должно соблюдаться условие [5]:

,                                          (2.40)

где - постоянная величина.

Вычислим .

Учтем, что ρ =R и запишем условие равновесия нити на круговом конусе:

.                        (2.41)

Подставим численные значения , , k=0, 2, α =10^◦ и Т_В, получим окончательно натяжение точки С нити:

(Н),

 (Н).                                      (2.42)

4. Рассмотрим равновесие участка CD. Примем точку C за начало декартовой системы координат и направим ось Cх горизонтально влево.

 

Рис. 2.13

 

Так как натяжение невесомой прямолинейной нити одинаково в каждой точке нити, то

.

Учитывая условие (7), получим натяжение в точке В нити:

 Н.                                           (2.43)

Таким образом, натяжение в точке D меньше, чем натяжение в точке А.

5. Рассмотрим равновесие точки D нити и груза 3.

 

Рис.2.14

Примем точку D за начало декартовой системы координат и направим ось Dх вдоль плоскости влево, а Dу – вверх. Силу трения  направим в сторону, противоположную вероятному движению нити, то есть в сторону уменьшения натяжения. Вес груза - вертикально вниз, натяжение точки D нити –по нити. Реакцию  направим перпендикулярно поверхности.

Запишем уравнения равновесия груза в проекциях на оси координат:

, ;

, ,                                (2.44)

и дополнительное условие равновесия груза   

Fтр≤ fN.                                                        (2.45)

Выразим из второго уравнения (2.44) нормальное давление плоскости N

и подставим его в ρ =R, силу трения груза о плоскость полученным неравенством и выразим условие для веса груза:

,

,

.

Подставив численное значение f=0, 4 и условие для натяжения в точке D (2.43), найдем вес груза 3, необходимый для уравновешивания системы:

 Н.

Задача 6.

Рис. 2.15.

Однородная нерастяжимая нить, весом q=10 Н/м, огибает гладкую поверхность цилиндра 2, перпендикулярно образующим. Радиус цилиндра равен R=0, 5 м, длина прямолинейного участка АВ=1м. К концу А нити прикреплен груз 1 весом Р=10 Н, находящийся на шероховатой, наклоненной под углом β =30◦ , плоскости. Коэффициент трения груза на плоскости f=0, 23. Определить, каким должно быть натяжение Тс в т. С нити, что бы система находилась в равновесии.

Решение.

Разобьем длину нити на участки: груз 1, свободный участок АВ, участок ВС на гладкой поверхности цилиндра. Примем, что натяжение в точке С нити больше, чем натяжение в точке А, Т_С > Т_А.

1. Рассмотрим равновесие нити гладкой поверхности цилиндра 2 (рис. 2.16). Начало отсчета дуговой координаты совместим с точкой С.

Выберем произвольно точку М и покажем действующие на нить силы, отнесенные к единице длины. Касательную ось  направим в сторону меньшего натяжения, к точке В. За положительное направление отсчета дуговой координаты примем направление по ходу часовой стрелки. Нормальное давление  направим по общей нормали, в противоположную сторону. Вес единицы длины нити q - вертикально вниз.

 

Рис. 4

 

Составим дифференциальные уравнения равновесия нити в проекциях на оси естественного трехгранника. Нить расположена по геодезической кривой цилиндра, поэтому угол геодезического отклонения  равен нулю, а радиус кривизны нити равен радиусу цилиндра ρ =R.

                                              (2.46)

Рассмотрим первое уравнение системы, заменив ds=Rdφ:

.

Проинтегрируем равенство

                                                (2.47)

Для определения постоянной интегрирования С₂, рассмотрим граничные условия в точке С: , . Подставим граничные условия равенство (2.47):

.

Подставляя значение С₂ в равенство, находим натяжение в любой точке нити на участке ВС:

.                                                (2.48)

Получим условие для натяжения в точке В для которой: , :

.                                        (2.49)

2. Рассмотрим равновесие отрезка АВ нити (рис.2.17).

Примем точку В за начало декартовой системы координат и направим ось Вх по нити вниз. Покажем силы, действующие на произвольную точку М: натяжения на концах участка и вес единицы длины нити.

 

 

Рис.2.17.

 

Составим дифференциальное уравнение равновесия нити, проецируя вес на ось координат Вх:

                                                 (2.50)

Так как нить прямолинейна, то есть ds=dx, то дифференциальное уравнение принимает вид:

Для определения постоянной интегрирования С₃ рассмотрим граничные условия в точке В: , . Подставим граничные условия в уравнение и определим .

Подставляя значение С₁  в равенство, получим натяжение в любой точке нити на участке АВ:

                                                (2.51)

Определим натяжение точки А нити, в которой , .

Учитывая условие для Тв, получим натяжение в точке A нити:

                  (2.52)

3. Рассмотрим равновесие точки А нити и груза 1.

Примем точку А за начало декартовой системы координат и направим ось Ах вниз вдоль плоскости, а Ау – перпендикулярно плоскости, вверх.

Силу трения  направим в сторону уменьшения натяжения. Вес груза - вертикально вниз, натяжение точки A нити – вверх по нити. Реакцию  направим перпендикулярно поверхности.                                                              

Запишем уравнения равновесия груза в проекциях на оси координат:

	Рис.2.18.

        , ;                                   (2.53)

, ,                                    (2.54)

и дополнительное условие равновесия груза   

Fтр≤ fN.                                                        (2.55)

Выразим из уравнения (2.54) нормальное давление плоскости N

и подставим его в неравенство (2.55): .

    Заменим в уравнении (2.53) силу трения груза о плоскость полученным неравенством и выразим условие для натяжения нити:

,     

.                                              (2.56)

Найдем натяжение точки А нити, подставив числовые значения:

      

 Н.                                                  (2.57)

Подставим в неравенство значение натяжения Т_А:

   

Определим натяжение в точке С:

,   7, 692 Н.

Задача 7.

Однородная нерастяжимая нить, весом q, Н/м, огибает  шероховатую поверхность цилиндра, перпендикулярно образующим (рис. 2.19). Радиус цилиндра равен R, м. Коэффициент трения нити о поверхность k.

Определить, каким должно быть натяжение в т. В нити, что бы нить находилась в равновесии.  

 

Решение.

Рассмотрим равновесие нити на шероховатой цилиндрической поверхности шкива.

    Начало отсчета дуговой координаты совместим с точкой К, считая, что натяжение нити в точке больше, чем в точке В. Нить расположена по геодезической кривой цилиндрической поверхности, поэтому угол геодезического отклонения θ =0, а радиус кривизны нити равен радиусу шкива ρ =r.

Начало естественного трехгранника совместим с точкой М нити и направим касательную ось  в сторону меньшего натяжения. Покажем действующие на нить в точке М силы, отнесенные к единице длины нити: вес , нормальное давление поверхности и сила трения .

Составим дифференциальные уравнения равновесия нити в проекциях на оси естественного трехгранника

                                              (2.58)

Из второго уравнения системы выразим N:

Тогда сила трения будет определятся неравенством:

Подставим выражение силы трения в первое уравнение системы (2.58) и учтем, что ds = rdφ . Получим неравенство:

.

Перепишем неравенство, умножая почленно на rdφ :

Умножая полученное неравенство почленно на e^kφ , получим:

                (2.59)

Выражение, стоящее в левой части неравенства, представляет собой полный дифференциал произведения (е ^kφ T), в чем можно убедиться непосредственным дифференцированием.

.

Запишем неравенство (2.21) в виде:

.

И проинтегрируем, учитывая, что:

.

После интегрирования и приведения подобных получаем:

.              (2.60)

Для определения постоянной интегрирования С₁ составим граничные условия в точке К: при φ = φ _К =0 Т=Т_К.

Подставляя граничные условия в неравенство (2.60), получим:

.

Откуда находим:

.

Подставляя значение С₁ в неравенство (2.60), имеем

.

Разделив почленно на  и подставив выражение Т_к, окончательно получим, что для равновесия нити на шероховатой поверхности шкива натяжение в каждой точке нити должно удовлетворять условию:

                        (2.61)

Найдем натяжение нити в точке L, положив в неравенстве (2.23) значение ; получим:

                              (2.62)

Положив в неравенстве (2.23) , находим натяжение нити в точке В:

                       (2.63)

Так как нить охватывает шкив снизу, то возможно нарушение контакта нити с поверхностью. Самой опасной точкой в этом смысле является точка L. Условие наличия контакта нити со шкивом в точке L имеет вид N_L≥ 0.

Нормальное давление N определим из второго уравнения системы (2.20):

                                (2.64)

Подставим в равенство (2.26) Т=Т _L;  и укажем, чтобы нормальное давление N_L было неотрицательно:

Отсюда находим, что при этом должно выполнятся условие:

Т _L ≥ qr.                                             (2.65)                                                                                 

Значит, выбранное согласно условию (2.62) значение натяжения Т _L должно одновременно удовлетворять условию (2.65).

3. Задачи для самостоятельной работы

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: