Равновесие тяжелых нитей с малой стрелой провисания.

Задача 1.

Однородная нерастяжимая нить длиной L=16, 2 м закреплена в точках А и В, расстояние между которыми по горизонтали равно l=16 м, по вертикали h=1м (рис.2.2). Вес нити, отнесенный к единице длины пролёта равен q=7, 5 H/м. Определить форму и натяжение нити.

                                     

Решение.

    Начало декартовых осей координат совместим с точкой А, ось Аx направим горизонтально вправо, ось Аy вертикально вниз. Так как на нить действуют вертикально направленные параллельные силы тяжести , то дифференциальные уравнения равновесия имеют вид:

              ,                                           (2.13)

    В этих уравнениях постоянная интегрирования H равна проекции натяжения нити Т в любой её точке на горизонтальную ось x. Обозначим через q = const силу тяжести, отнесённую к единице длины горизонтальной оси x. Сила, действующая на элемент dx, равна qdx. Поэтому сила, приходящаяся на единицу длины нити, равна:  [4].

Из первого уравнения системы (1.1) выразим натяжение нити:

.                                                 (2.14)

Подставив значения Т и Ру  во второе уравнение (2.13), имеем:

.

Сократим уравнение на ds и перепишем его в виде .

Интегрируя, находим

                 или .              (2.15)                            

    Для определения постоянной интегрирования С₁ составим граничные условия в вершине О кривой равновесия нити, где

;   .

Подставляя граничные условия в уравнение (2.14), получим

        .

Внесём значение С₁ в уравнение (2.15)  и разделим переменные  

.

Интегрируя уравнение ещё раз, находим

               .                                 (2.16)

Для определения постоянной интегрирования С₂, рассмотрим граничные условия в точке А: при x_A=0 y_A=0.

Подставляя граничные условия в уравнение, получим С₂=0.

Уравнение кривой равновесия нити, находящийся под действием равномерно распределённой вертикальной нагрузки, получает вид                                                                       

.                                      (2.17)

Введём параметр  .                                                                               (2.18)

И перепишем уравнение (2.17)

 .                                      (2.19)

Дифференцируя это уравнение по переменной х, имеем

.                                        (2.20)

Определим основные параметры параболической нити. Стрелу провисания f нити находим, используя граничные условия в вершине О параболы, где x₀= , y₀=f. Внося эти значения в уравнение (2.19), имеем

 .                                  (2.21)

Составим граничные условия в точке В: при х_В=l y_В=h.

Внесём их в уравнение (2.19) и получим значение превышения опор:

.

Разрешим полученное равенство относительно :

.                                           (2.22)

    Для определения параметра а вычислим длину нити, заметив, что для нитей с малой стрелой провисания угол  между касательной к нити и осью х мал. Тогда величина . На этом основании выражение для дифференциала дуги ds представим в виде

.

Внесём в это равенство значение производной  из формулы (2.20):

.                                (2.23)

Интегрируя в пределах от х=0 до х=l справа и от s =0 до s =L слева, находим длину L параболической нити при малой стреле провисания

 .

Преобразуем выражение, возводя в степень и приводя подобные, получим:

             .                             (2.24)

Учитывая значение  из выражения (2.22), получим

.              (2.25)

Из последнего выражения находим параметр а

               (м).

Подставляя числовые значения в выражения (2.21) и (2.22), вычислим координаты  и f вершины параболы

(м),

(м).

Найдём натяжение нити. Подставим выражение (2.23) в уравнение (2.14) и, учитывая равенства (2.18), получим

.             (2.26)

Учитывая формулу (2.21) и уравнение (2.19), получим выражение для натяжения параболической нити в любой её точке:

              .                                            (2.27)

Уравнения кривой равновесия нити примет вид (2.19):

               (2.28)

Натяжение нити в каждой её точке определяется формулой, согласно (2.27)

       .            (2.29)

Задавая величину координаты х и вычисляя координаты у и натяжение Т по полученным формулам (2.28), (2.29), можно построить кривую равновесия нити у(х) и график изменения натяжения нити Т(х).

 

Задача 2.

Однородная гибкая нить закреплена в точках А и В, расстояние между которымипо горизонтали равно l =10м, по вертикали h =0, 5м. Вес нити, отнесенный к единице длины пролета равен q =0, 2Н/м (рис.2.3).

	Рис.2.3

 

Определить координаты δ и f вершины кривой равновесия нити, а также длину L нити, чтобы горизонтальная составляющая натяжения не превышала H =10Н.

Решение.

Находим параметр а по формуле (2.2)

Вычисляем абсциссу δ вершины (2.22)

Определим стрелу провисания нити (2.21)

Находим длину нити, формула (2.25)

 

  Задача 3.

Однородная гибкая нить длиной L =10, 1м закреплена в опорах А и В, лежащих на одном уровне. Расстояние между опорами l =10м. Вес нити, отнесенный к единице длины пролета равен q =0, 8Н/м.

Определить координаты δ и f вершины кривой равновесия нити, а также горизонтальную составляющую Н натяжения нити.

Решение.

Так как превышение h между опорами равно нулю, то абсцисса вершины О кривой нити находится посредине пролета, то есть м.

Горизонтальную составляющую Н натяжения нити определяем, учитывая (2.21),

                                   (2.30)

откуда

                                          (2.31)

Длина нити определяется как , с учетом (2.31) получим

                                   (2.32)

Стрелу f провисания нити (ординату вершины О) находим из выражения длины нити (2.32):

Параметр , .

 

Задача 4.

Рис.2.4

Однородная гибкая нить закреплена в опорах А и В так, что имеет малую стрелу провисания (рис.2.4). Вес нити, отнесенный к единице длины пролета равен q =2Н/м. Натяжение нити в точках А и В соответственно равно Т_А=12Н; Т_В=11Н. Натяжение нити в вершине кривой Т_О=10Н.

 

Определить превышение h между опорами, стрелу провисания f нити, длину пролета l и длину нити.

Решение.

Натяжение нити в указанных точках определяется формулами (2, 8), (2.9), (2.11):

      (1)

Из первых двух формул находим стрелу провисания нити

Из третьей формулы имеем

Из первой находим параметр а: .

Из формулы  (2.21) вычислим координату δ :

Из выражения  находим расстояние l

Длину нити вычислим по формуле

Задача 5.

Однородная гибкая нить длиной L =8, 1м закреплена в опорах А и В, лежащих на одном уровне. Расстояние между опорами l =8м. Вес нити, отнесенный к единице длины пролета равен q =0, 6Н/м.

Определить натяжение нити в точке С, находящейся на расстоянии х_С=5м от начала координат.

Решение.

Натяжение в точке С можно определить согласно первой формуле (2.26)

                                        (2.34)

Так как превышение между опорами h =0, то

Параметр а вычислим из формулы длины нити (2.25) при h=0

, откуда

Теперь  находим

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: