Моделирование сложных систем и применение моделей

5.2.1. Принципы построения модели сложной системы

 

а) Принцип декомпозиции

Прежде всего исходим из того очевидного положения, что сложные системы можно разбить на подсистемы и элементы с иерархической структурой связей. Тогда каждая подсистема, решая конкретную задачу, обеспечивает тем самым достижение общей цели.

С этих позиций, к особенностям сложной системы следует отнести такие:

1)Сложную систему можно расчленить на конечное число подсистем, а каждую подсистему, в свою очередь, - на конечное число более простых субподсистем до тех пор, пока не получим элементы системы ( под элементами системы следует понимать объекты, которые в условиях данной задачи не подлежат расчленению на части).

2)Элементы сложной системы функционируют во взаимодействии друг с другом.

3)Свойства сложной системы определяются не только свойствами отдельных элементов, но и характером взаимодействия между ними.

На практике стремятся расчленить сложную систему на такую совокупность подсистем, которая наилучшим образом отражала бы работу и функциональное взаимодействие ее элементов. В этом случае и строгое физико-математическое описание становится более доступным.

Использование принципа декомпозиции систем на подсистемы, подсистем на элементы позволяет создать модель сложной системы путем разработки для простых физически элементов их математическое описание и соответствующий алгоритм.

Практическая реализация этого принципа предполагает, что специалисты, изучающие процессы в каждом конкретном элементе, способны на основе экспериментальных и теоретических исследований разработать модели всех элементов и достичь при этом точности, которая необходима для оценки характеристик работоспособности каждого из этих элементов в условиях штатной эксплуатации.

Например, выделив в качестве отдельного элемента системы двигатель постоянного тока, даем возможность специалисту формировать его описание. Так из теории систем автоматического регулирования для такого двигателя описанием является система дифференциальных уравнений

или после упрощения и преобразований

                         

,

где ,

Таким образом субблоки, блоки,  элементы сложной системы или удается описать математически с достаточной степенью точности для расчета их текущих состояний, или в результате специальных экспериментальных исследований получить совокупность числовых данных для описания указанных состояний. Эти числовые данные могут быть как непосредственно использованы при компьютерной реализации соответствующих блоков в виде таблиц, описывающих реакцию этих блоков на входные воздействия, так и в виде заменяющих упомянутые таблицы аппроксимирующих их зависимостей. И в том и в другом случаях программирование не вызывает трудностей.

Так или иначе декомпозиция системы, о которой идет речь, дает возможность специалистам создать программно реализуемые алгоритмы функционирования блоков, субблоков, элементов.

Отсюда совокупность моделирующих алгоритмов блоков, субблоков, элементов, разработанных указанным способом, с учетом их взаимодействия определяют алгоритм модели всей системы в целом.

Примерами декомпозиции при создании модели системы распознавания заболеваний внутренних органов человека могут быть варианты разбиения ее на элементы и блоки компьютерной системы, построенной на основе ультразвуковой медицинской диагностики. Структурная схема одного такого варианта при достаточно поверхностной декомпозиции представлена на рис. 5.2.1.

 

Модель отражающих                           Модель ультразву-    

свойств внутренне-                              кового локатора,

го органа человека в                            являющегося ос-           ультразвуковом                                    новным элементом  

   диапазоне волн                              аппарата УЗИ           

                                             

 

                                                               Модель алгоритма 

                                                               обработки изображе-

                                                               ний внутреннего ор-

                                                               гана              

   

 

                                                               Модель алгоритма  

                                                                анализа и принятия

                                                              решения      

 

Рис 5.2.1. Структурная схема варианта декомпозиции системы распознавания

 

Более детальная декомпозиция позволяет представленные блоки расчленить на субблоки и элементы. Так, например, могут быть детализированы первые два из блоков рассмотренной схемы (Рис.5.2.2).

Точно также могут быть подвергнуты декомпозиции и другие модули структурной схемы, приведенной на рис.5.2.1. В результате появляется возможность для узких специалистов на основе физико-математического описания разработать алгоритмы их и затем комплексировать в общий алгоритм модели системы.

а) Принцип допустимых упрощений

В большинстве случаев, однако, общий алгоритм модели, полученный в результате декомпозиции системы,  разработки специалистами алгоритмов элементов и их связей и последующего объединения, является

   

   Модуль описания                     Модуль описания 

   геометрической                         возможных поло-

   формы внутрен-                       жений потологи- 

    него органа                               ческих образо-  

                                                              ваний в органе          

               

     Модуль описания                        Модуль описания  

  положений функцио-                  геометрических   

  нальных элементов                     характеристик    

  внутреннего органа                    потологических  

                                                             образований  

 

                                                            Модуль выбора    

                                                            условий наблюде-

                                                            ния внутреннего

                                                           органа (сечение) 

                                                                             

                                                          Модуль описания

                                                          звукодинамичес-

                                                          ких свойств се-

                                                            чения органа

 

                                              

 Ì î ä ó ë ü î ï è ñ à í è ÿ    Ì î ä ó ë ü î ï è ñ à í è ÿ       Ì î ä ó ë ü î ï è ñ à í è ÿ

 ç â ó ê î ä è í à ì è ÷ å ñ -     ç â ó ê î ä è í à ì è ÷ å ñ -       ç â ó ê î ä è í à ì è ÷ å ñ -  

 ê è õ ñ â î é ñ ò â ï à -       ê è õ ñ â î é ñ ò â ê à æ -       ê è õ ñ â î é ñ ò â ï à -

 ò î ë î ã è ÷ å ñ ê è õ            ä î ã î è ç ô ó í ê ö è î -           ð å í õ è ì û â í ó ò ð å í -

 î á ð à ç î â à í è é             í à ë ü í û õ ý ë å ì å í ò î â    í å ã î î ð ã à í à        

                                                                 

                        Модуль формирования ультазвуково-

                              го изображения сечения органа  

на модель алгоритма обработки изображений

 

Рис.5.2.2. Структурная схема декомпозиции модели отражающих свойств и ультразвукового локатора

только исходным и его еще нельзя положить в основу создания рабочей модели системы. Это определяется его громоздкостью, а также плохой согласованность с вычислительными ресурсами и с требованиями к модели системы.

Такие возможные недостатки исходного алгоритма модели вытекают из различия целей моделирования отдельных элементов и сложной системы в целом.

Причина различия целей состоит в том, что специалисты, разрабатывающие алгоритмы элементов, стремятся к тому, чтобы отразить характеристики этих элементов с максимальной точностью. В результате алгоритмы моделей элементов могут оказаться достаточно сложными, а в итоге

-непомерно возрастает время счета одной реализации функционирования системы в целом;

-уменьшается общее число модельных экспериментов (реализаций) при общем ограничении времени на испытание сложной системы.

И это при том, что всегда существуют более простые реализации элементов по сравнению с предложенными “сходу”. К тому же с точки зрения влияния на конечную точность моделирования системы вклады отдельных элементов могут оказаться несущественными, а значит сами описания алгоритмов их функционирования могут допускать упрощения.

Поэтому модель системы в целом должна строиться на основе компромисса между ожидаемой точностью оценок конечного показателя и сложностью самой модели.

Отсюда путь к созданию рабочей модели системы - поиск компромиссных решений. В основе его лежит анализ допустимых упрощений как исходных алгоритмов моделей элементов, так и алгоритмов их взаимодействия.

При создании рабочей модели системы (разработке алгоритма модели) методики анализа возможных упрощений бывают самыми разными, но смысловое содержание их состоит в том, чтобы обеспечить системные расчеты в отведенное время и достичь при этом заданной точности конечного показателя (например, эффективности для систем распознавания). Естественно, что указанный анализ, направленный на исключение, замену отдельных блоков и субблоков или их корректировку должен предполагать:

-более углубленное аналитическое изучение и представление работы физического аналога;

-экспериментальные исследования физического аналога.

Решения по упрощению многообразны. Все они специфичны и не поддаются обобщению. При этом наиболее конкретная рекомендация по замене может быть дана лишь в отношении блоков, осуществляющих воздействие на исследуемую часть системы. Только в этой ситуации блоки можно однозначно заменить упрощенным эквивалентом, не зависящим от указанной исследуемой части системы. Само собой разумеется, что если при заменах и корректировках не нарушается функциональное взаимодействие блоков и субблоков, то схема сопряжения их в общей модели остается без изменений.

При заменах блоков упрощенным эквивалентом отказываются от точного описания

-либо на основе отдельных исследований на самостоятельной модели (говорят: ”частной” модели) воздействий, данного блока на систему и выбора в качестве замены нового блока формирующего реализации наихудшего воздействия;

-либо при достаточно большом числе факторов, определяющих воздействие, выбором в качестве замены нового блока, формирующего случайное воздействие с заданными характеристиками.

Если, например, в состав некоторой сложной системы входит автоматический электронный измеритель некоторой величины, используемой блоками этой системы, то приходится иметь дело с неизбежными ошибками измерений. Причины ошибок здесь - наличие электронных шумов, вызываемых:

-неравномерной эмиссией электронов (так называемый “дробовой шум) в электровакуумных приборах;

-неравномерностью процессов генерации и рекомбинации носителей тока в полупроводниковых приборах.

 

При построении модели указанного измерителя возможны:

1)Строгое физико-математическое описание указанных неравномерностей движения носителей тока и их влияния на измеряемую величину (" модель с точностью до носителя" ).

2)Экспериментальная оценка максимальной ошибки измерения интересующего параметра и замены точного блока всего лишь имитатором постоянной величины максимально возможной ошибки, добавляемой к измерениям.

3)Экспериментальные статистические исследования ошибок измерителя, получение закона распределения вероятностей ошибок и замена точного блока на блок генерации случайных ошибок с заданным законом распределения, добавляемых к “чистым” измерениям.

 

В технических приложениях моделирования ни " точность до носителя", ни имитация максимальных ошибок не являются удовлетворительным решением. Третий подход к решению задачи встречается наиболее часто. Это связано, особенно в электронике, с наличием большого числа случайных воздействий. Это и каналы связи со случайными шумами. Это и ошибки измерений, носящие случайный характер. Это и точности изготовления деталей и т.д. и т.п.

Отсюда следует, что при соответствующих заменах блоков каждый эксперимент на системной модели должен носить случайный характер.

 5.2.2. Моделирование сложных систем и опытно-теоретический метод их испытаний

Рассмотрение истории вопроса появления и развития моделирования показало, что цель создания любой модели - испытания некоторой системы. При этом сегодня речь идет о компьютерной реализации и испытаниях модели системы в условиях, которые или невозможно, или достаточно дорого создать для проведения натурных испытаний реальной системы, или это сопряжено с большими временными затратами.

В то же время из проведенного рассмотрения отличий модели от представляемого ею объекта (процесса, явления) следует, что полностью положиться на результаты моделирования, выступающего в качестве единственного источника получения характеристик указанного объекта (процесса, явления) не представляется возможным.

Отсюда логически вытекает необходимость сочетания моделирования и натурных испытаний для совместного получения показателей соответствующей системы. Соответствующий метод и получил название опытно-теоретического.

Здесь необходимо заметить: когда речь идет о натурных испытаниях системы, подразумевают натурные испытания ее элементов или сокращенного, упрощенного варианта. В противном случае пришлось бы создать систему в целом, не зная заранее, как она будет выполнять те или иные задачи. А если при этом система окажется неспособной выполнить свое назначение и затраты нецелесообразными? Но система создана?! В связи с этим и цель опытно-теоретического метода - избежать нецелесообразных затрат, используя сочетание экспериментальных данных в ограниченном объеме и моделирования - во всей области факторного пространства функционирования системы.

Суть опытно-теоретического метода, обязательно предполагающего создание модели системы, сводится к выполнению следующих положений:

1)Получение для одних и тех же условий достаточного количества реализаций показателей функционирования системы или ее отдельных блоков в натурных испытаниях и на модели.

2)Проведение параметрической доработки модели на основе сравнения результатов натурных экспериментов и моделирования, если структура модели удовлетворительна.

3)Проведение структурной перестройки модели, дополнительный учет отдельных факторов, дополнение связей при наличии остаточной разности между выходными характеристиками после попытки параметрической доработки.

4)Проверка статистической совместимости модели и системы в ряде целенаправленно выбранных точек факторного пространства.

5)На основе выполненной калибровки модели (пункты 1-4) распространение результатов испытаний системы с помощью моделирования на всю область факторного пространства.

 

Таким образом достигается сначала изоморфность модели и системы, а затем оценка этой системы на модели во всех возможных условиях функционирования.

Упомянутый при этом отказ от создания системы в целом, замена ее испытаний на испытания отдельных узлов, модулей, составляющих и т.п. отражается на построении модели системы. Дело в том, что некоторые результаты испытаний могут позволить, например, отдельные составляющие системы не моделировать, описывая соответствующие физические процессы, не искать для них точных математических описаний для реализации, а воспользоваться полученными экспериментальными данными. Так, можно не моделировать уходы параметров отдельных электронных и электромеханических устройств, приводящие к их отказам, если в результате испытаний получены характеристики надежности этих устройств (вероятность безотказной работы в течение рабочего цикла, наработка на отказ, время безотказной работы). То есть, натурные испытания могут явиться основанием для упрощения модели при сохранении ее изоморфности системе.

Рассмотренный путь упрощения - не единственный. Во-первых, уже упомянутый нами компромиссный характер создания модели системы (между точностью и возможностью реализации) дает в отдельных случаях такие основания. Тогда, как уже упоминалось можно отказаться от некоторых деталей моделирования. Во-вторых, задачи, ставящиеся перед моделью могут быть различными: оценка функционирования системы, оценка взаимодействия системы с другими сложными системами, оценка характеристик системы во всем диапазоне условий функционирования и т.д. Это приводит к тому, что при испытаниях сложных систем имеют дело не с одной единственной моделью. Так по своему назначению модели делятся на частные и системные.

Частные модели - это модели отдельных частей системы (подсистем, узлов, агрегатов), позволяющие при высокой точности моделирования этих частей получить исходные данные для использования в системной модели. В результате системная модель не будет перегружена соответствующими частными задачами, то есть, упростится и сможет стать реализуемой в приемлемое время (например, в реальное время), с приемлемым быстродействием и в допустимом объеме.

Системные модели включают в свой состав элементы, отражающие в той или иной степени работу всех частей системы или напрямую используют отдельные части системы. Они позволяют получить показатели качества всей системы в целом. А так как таких показателей может быть несколько, то и системных моделей может быть несколько. При таком разделении функций исчезает сложность разрабатываемых моделей. Этим, в частности, объясняется деление системных моделей на функциональные и комплексные. И если функциональные модели предназначаются для испытаний функционирования сложной системы в различных ситуациях, то комплексные обеспечивают:

-отработку и отладку программного обеспечения сложной системы;

-оценку характеристик отдельных средств и получение исходных данных для полной оценки системы.

 

Л Е К Ц И Я 5.3

 Метод статистических испытаний

(метод Монте-Карло)

5.3.1. Основное определение

 

Из рассмотрения принципов построения моделей сложных систем следует, что при упрощениях модели и замене блоков, описывающих, как правило, воздействия на систему и ее части, эксперимент на системной модели сложной системы достаточно часто приобретает случайный характер. Случаен в силу этого и выходной эффект системы от запуска модели к запуску. Для проведения моделирования в таких условиях наиболее приемлемым является метод моделирования, основанный на статистических испытаниях, так называемый метод Монте-Карло.

Приемлемость указанного метода обусловливается тем, что

1)расчет оценок выходных параметров осуществляется с использованием достаточно простых алгоритмов обработки.

2)просто и точно определяется необходимый объем моделирования из условия достижения заданной точности оценок выходных показателей.

3)методика организации экспериментов на модели достаточно проста и хорошо программно реализуема.

В этом легко убедиться на простых примерах. А пока рассмотрим определение.

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) состоит в решении различных задач вычислительной математики путем построения для каждой задачи случайного процесса с параметрами, равными искомым величинам этой задачи..

Рассмотрим простейшие примеры.

А. Пусть необходимо определить вероятность P_ч того, что суммарное число попаданий при стрельбе в “десятку” мишени при 10 выстрелах - четно.

Известно, что если вероятность попадания в “десятку” при одном выстреле равна p, то искомая вероятность согласно биномиальному закону распределения вероятностей вычисляется так:

Здесь   - число сочетаний из 10 по 2k.                                                                                                                   

Если предварительно подсчитать все числа сочетаний при k=0…5 или использовать готовую таблицу сочетаний, то вычисления P_ч по указанной формуле потребуют 26 операций.

Вместо такого расчета можно было бы экспериментально выполнить N серий стрельб по 10 выстрелов и определить из их числа количество серий n_ч, в которых число попаданий в “десятку” - четное. Тогда при достаточно большом N имеем

 

Однако при таком подходе для получения достоверными в оценке Pч двух знаков после запятой потребуется около 10 000 серий по 10 выстрелов.

Оказывается, что ЭВМ позволяет выполнить решение указанной задачи третьим способом.

Как известно многие языки программирования имеют в составе стандартных функций датчик случайных чисел, позволяющий формировать случайную последовательность равномерно распределенных чисел на интервале [0, 1].

Поэтому вместо выстрела по мишени достаточно выбрать из датчика указанное число со значением x и проверить выполнение неравенства x< p. Если оно выполнено, то это соответствует попаданию в “десятку” с вероятностью p. Покажем это.

Действительно вероятность попадания случайной величины в интервал [0; p] равна

,

где w(x) - плотность распределения вероятности

В нашем случае имеем дело с равномерным распределение на единичном интервале, то есть w(x) = 1. Поэтом P_{0; р} = p.

 

Выбираем теперь серии из 10 чисел x. Если при этом число “попаданий” (выполнения неравенства x< p) будет четным, считаем серию удачной.

При N таким образом имитированных серий получим также, как и в прямом эксперименте со стрельбами

Однако в отличии от этого прямого эксперимента результат будет получен здесь на современной ЭВМ не более чем за 10 с.

Таким образом задача в рассмотренном случае была решена (согласно определению метода Монте-Карло) путем построения случайной последовательности с параметром, равным искомой величине P_ч. Эта последовательность была построена следующим образом:

-формирование на первом этапе равномерно распределенной последовательности на интервале [0, 1];

-формирование на втором этапе новой случайной последовательности (N серий) группировкой полученных на первом этапе значений в серии по 10;

-формирование на третьем этапе искомой случайной последовательности путем выборки из последовательности серий второго этапа размера N таких, в которых неравенство x< p выполняется четное число раз.

Количество серий третьего этапа формирования и определяет частость

                                          

которая при N ®¥ стремится к искомой величине P_ч.

 

 

Б.Еще один пример, но из области непосредственного применения метода Монте-Карло к вычислению интегралов.

Пусть необходимо вычислить

При этом будем считать, что 0< =x< =1 и 0< = g(x) < =1, то есть вся функция лежит в единичном квадрате.

Такое ограничение не влияет на общность задачи, так как любой интеграл заменой переменных и изменением масштаба может быть приведен к рассматриваемому.

Y

1

      

                                     

                                     

                                     

                     y = g(x)   

                                                                                 x

                                                   1

                                      Рис.5.3.1.

 

Будем рассматривать две области на плоскости (x, y)

W - область, заданная неравенствами

0< = x < =1

0< = y < =1

w - область, ограниченная кривой y = g(x) и ординатами x=0 и x = 1.

Площадь области W равна единице S1=1, а площадь области w_S2 = I.

Зададим в области W равномерное распределение случайных точек. Это означает, что вероятность попадания точки с координатами x_i, y_i в область W равна 1, а в некоторую часть этой области - пропорциональна площади этой области независимо от ее расположения внутри W.

Плотность заданного распределения вероятностей f(x, y) = 1

         Ï î ý ò î ì ó â å ð î ÿ ò í î ñ ò ü ï î ï à ä à í è ÿ ò î ÷ ê è â î á ë à ñ ò ü w ð à â í à

Таким образом, I = S₂.

Если теперь мы располагаем возможностью имитировать случайные точки с координатами x_i, y_i в соответствии с заданной плотностью, то после N испытаний, подсчитав число тех из них (m), которые попали в область w, получим частость  

Вспоминаем, что частота при N ®¥ стремится к истинному значению, а в качестве приближенного значения интеграла следует использовать указанную частоту.

Подводя итог рассмотренному примеру с точки зрения введенного определения метода Монте-Карло, отметим, что

-решаемая задача относится к области вычислительной математики;

-для решения задачи формировалась случайная последовательность чисел как выборка значений из последовательности с равномерной плотностью распределения вероятностей, попадающих в область w;

-искомая величина определялась как отнесение числа попаданий в область w к общему числу экспериментов.

 

Рассмотренных примеров уже вполне достаточно для того, чтобы пояснить данное в начале определение метода статистических испытаний. В то же время следует иметь в виду, что существует большое многообразие задач, для которых метод Монте-Карло является плодотворным, позволяя достигать инженерного результата там, где аналитические методы либо сложны, либо не дают ответа. В этом аспекте необходимо отметить такие области применения, как

-многомерные интегралы;

-теория обнаружения сигналов;

-обращение матриц и решение систем линейных алгебраических уравнений;

-некоторые краевые задачи;

-нахождение собственных значений и собственных функций и др.

 

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: