Необходимые условия оптимальности. Непрерывный случай

Перейдем теперь к рассмотрению задачи программирования оптимального управления непрерывной системой. Начнем с задачи управления системой

(11.20)

на интервале  при наличии ограничения , накладываемого только на управление.

Заметим, что при рассмотрении непрерывных систем всюду предполагается, что управление  принадлежит к классу кусочно-непрерывных функций. Другими словами, считается, что управление  может иметь конечное число точек разрыва. Цель управления состоит в минимизации критерия конечного состояния

.

(11.21)

Как и прежде, начальное состояние  считается известным. Момент окончания процесса управления  пока тоже будем считать заданным. Пусть  — искомая оптимальная программа управления. C целью получения необходимых условий оптимальности дискретизируем задачу, перейдя к следующему конечно-разностному аналогу системы (11.20):

.

(11.22)

Здесь  — шаг дискретизации, сколь угодно малая величин;  — вектор состояния и вектор управления в момент ; момент  совпадает с моментом .

Критерий оптимальности (11.21) перепишем в виде

,

(11.23)

а ограничение на управление  в виде .

Формально для полученной задачи в соответствии с вышесказанным имеют место следующие необходимые условия оптимальности

,

(11.24)

где

,	(11.25)
	(11.26)
	(11.27)

Прежде чем осуществить обратный предельный переход при  в соотношениях (11.24)-(11.27), установим связь между вариацией управления  в момент  и вариацией фазового вектора  в последующие моменты времени .

Согласно (11.22) можно записать следующее уравнение в отклонениях, описывающее эволюцию вариации

.

(11.28)

Граничное условие для этого уравнения имеет вид

.

(11.29)

Нетрудно убедиться, что скалярное произведение вектора  и сопряженного вектора , образуемого в соответствии с (11.26), представляет собой постоянную величину при любых . Действительно, согласно (11.28)) и (11.26)

. (испр)

Но так как для момента  это произведение определяет вариацию критерия оптимальности (11.23) за счет вариации управления в момент j, т.е.

, (испр)

то в соответствии с необходимым условием оптимальности (11.24) получаем

(испр)

(11.30)

при любом . В частности, при  соотношение (11.30) с учетом (11.29) принимает вид

. (испр)

(11.31)

Полученное соотношение справедливо для любого  и любого момента . Введя новое в отличие от выражения (11.25) обозначение для гамильтониана

(11.32)

условию (11.31) можно придать следующий вид:

(11.33)

Таким образом, для системы (11.22) при малых значениях шага с точностью до членов первого порядка малости дискретный принцип минимума в отношении гамильтониана (11.34) справедлив независимо от свойств гамильтониана и допустимого множества , как это было в дискретных системах общего вида.

Осуществим теперь предельный переход во всех соотношениях, определяющих необходимые условия оптимальности. Для этого устремим интервал дискретности  к нулю. В результате уравнение (11.22) примет вид исходного уравнения (11.20), которое при оптимальном управлении определит теперь оптимальную траекторию движения

(11.34)

при условии

(11.35)

Конечно-разностное уравнение (11.26) перейдет в дифференциальное

(11.36)

с граничным условием

(11.37)

Необходимое условие оптимальности управления вид принципа минимума

,	(11.38)
где                             .	(11.39)

Как и в дискретном случае, систему (11.34)-(11.37) можно представить в каноническом виде

	(11.40)
	(11.41)

Заметим, что если в граничном условии (11.37) изменить знак на обратный, т.е. принять

,

(11.42)

то условие оптимальности (11.38) примет вид широко известного принципа максимума [6, 7, 10]

,

(11.43)

сформулированного впервые Л.С.Понтрягиным и носящего поэтому его имя.

Для отыскания оптимального управления  на основе принципа минимума (максимума) необходимо решить краевую задачу (11.40)-(11.41) при управлении, удовлетворяющем в каждый момент времени условию (11.38).

 

Упражнение 1. Показать, что в задаче оптимизации управления системой (11.20) из условия минимума критерия

(задача Больца) необходимые условия оптимальности (2.38)-(2.41) сохраняются с точностью до определения гамильтониана, который теперь принимает следующий вид

(11.44)

Упражнение 2. Показать, что в задаче оптимизации управления системой (11.20) из условия минимума критерия (11.21) при дополнительном ограничении на вектор конечного состояния вида

(11.45)

необходимые условия оптимальности (11.38)-(11.41) сохраняются с точностью до определения вектора  который имеет вид:

(11.46)

Здесь  - вектор множителей Лагранжа, удовлетворяющий условию (11.45).

 Упражнение 3. Показать, что в задаче оптимизации системы (11.20) с критерием

(11.47)

(задача Лагранжа) краевые условия, связанные с компонентами сопряженного вектора , имеют вид

, если  свободно;

(T) -  свободно, если  задано.

Упражнение 4. Показать, что гамильтониан на оптимальной траектории постоянен, т.е. для всех

.

(11.48)

Упражнение 5. Показать, что если время окончания управления свободно, то гамильтониан на оптимальной траектории тождественно равен нулю

для всех

(11.49)

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: