Спуск с максимальной боковой дальностью

В качестве еще одного теперь уже более сложного примера использования необходимых условий оптимальности рассмотрим задачу об управлении летательным аппаратом с целью достижения максимальной боковой дальности на этапе спуска на Землю.

Уравнения движения запишем в виде [16]

	(11.59)
	(11.60)
	(11.61)
	(11.62)
	(11.63)
.	(11.64)

Здесь приняты следующие обозначения:  - скорость движения;  - угол наклона вектора скорости к плоскости местного горизонта; - угол курса (фигово, сопарадет с сопряженными);  - высота полета;  - геоцентрическая широта; - геоцентрическая долгота;  - сила лобового сопротивления;  - подъемная сила;  - ускорение свободного падения;  - масса аппарата;  - угол крена.

Для простоты будем считать, что диапазон высот, в котором рассматривается спуск аппарата, мал по сравнению с радиусом Земли. Поэтому можно считать , .

С целью дальнейшего упрощения уравнений движения примем, так называемую, гипотезу о квазистационарном режиме полета, при котором предполагается . Кроме того, пренебрежем составляющей  в уравнении (11.59), считая силу лобового сопротивления определяющей в этом уравнении.

Тогда из уравнения (11.60) находим выражение для подъемной силы:

.

(11.65)

Переходя к аэродинамическому качеству  и учитывая (11.65) уравнения (11.59), (11.62) приводим к виду

	(11.66)
.	(11.67)

В качестве управляющих параметров примем угол крена  и аэродинамическое качество . Из физических соображений ясно, что эти параметры должны удовлетворять следующим ограничениям

, .

(11.68)

Рассмотрим задачу о достижении максимальной боковой дальности при начальном движении из плоскости экватора: решение этой задачи позволяет оценить предельные маневренные возможности такого аппарата. Итак, критерий оптимальности, полежащий минимизации, имеет вид

.

(11.69)

Будем считать, что в начальный момент времени  фазовые переменные аппарата  заданы. В конечный момент времени  задана лишь высота . Время  считается свободным. Для решения задачи обратимся к необходимым условиям оптимальности. Гамильтониан в данном случае имеет вид

,

(11.70)

где

; ;	(11.71)

Здесь через  обозначены сопряженные переменные, соответствующие фазовым переменным . Так как время  свободно, то согласно (11.49) гамильтониан вдоль всей оптимальной траектории равен нулю . Сопряженные переменные согласно (11.41) и с учетом  удовлетворяют следующей системе уравнений:

	(11.72)
, , ;	(11.73)
; , .	(11.74)

Специфика уравнений (11.73) и (11.74) с учетом  позволяет получить два первых интеграла. С этой целью умножим (11.73) на , а (11.74) на , сложим их и перенесем все в левую часть. В результате получим

.

Следовательно,

.

(11.75)

Если уравнение (11.73) умножить на , а (11.74) на , сложить их и перенести все в левую часть, получим аналогично

,

откуда

.

(11.76)

Из уравнений (11.75) и (11.76) нетрудно получить выражения непосредственно для сопряженных компонент :

;
.

Учитывая граничные условия , ,  окончательно получаем

, , ,

(11.77)

где через  обозначена долгота аппарата в конечный момент времени.

Таким образом, сопряженные переменные  полностью определяются фазовыми переменными .

Для выявления структуры оптимального управления обратимся к минимизации гамильтониана (11.70). Так как зависимость  от  при любых значениях  монотонна, то оптимальное значение аэродинамического качества (при ) находится как

(11.78)

Характер зависимости  от  определяется значениями коэффициентов  и . Из анализа условия  следует, что гамильтониан  может принимать экстремальное значение только в одной точке, определяемой соотношением

.

(11.79)

Анализируя возможные варианты сочетаний коэффициентов  и , приходим к следующему выражению для оптимального значения угла крена:

(11.80)

Как видно из выражений (11.78) и (11.80) с учетом (11.71), для определения оптимальной программы управления формально необходимо знание всех сопряженных переменных. Однако использование равенства гамильтониана нулю на всей оптимальной траектории позволяет существенно упростить структуру найденного управления. В частности, из условия  следует, что вместо неравенства  можно рассматривать неравенство

,

(11.81)

вместо условия (2.79) можно рассматривать условие

.

(11.82)

Наконец, можно показать, что при  условия

и

(11.83)

оказываются эквивалентными [16].

Удобнее пользоваться условиями (11.81)-(11.83), поскольку в них отсутствует параметр , а следовательно, и сопряженная переменная . Поэтому отпадает необходимость и в исследовании уравнения (11.72). С учетом (11.81)-(11.83) структура оптимального управления может быть представлена в следующем виде

	(11.84)
	(11.85)

где параметры  и  согласно (11.71), (11.77) определяются соотношениями

.	(11.86)

В полученных выражениях неизвестными являются два параметра  и . Таким образом, проведенное исследование позволило в рассматриваемой задаче не только выявить структуру оптимального управления, но и свести ее к двухпараметрической краевой задаче по отношению к параметрам , , не прибегая, вообще, к системе сопряженных уравнений. Подбор этих параметров необходимо осуществлять численно.    

 

Упражнения 1. Показать, что в рассматриваемой задаче режим особого управления, соответствующий случаю , отсутствует.

Упражнения 2. Показать, что минимизация гамильтониана (11.70) по  с учетом ограничения (11.68) приводит к выражению (11.80). Получить выражение (11.82).

Упражнения 2. Показать эквивалентность неравенств в  (11.83).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: