Необходимие условия оптимальности для дискретных систем

Рассмотрим сначала задачу управления дискретной стохастической системой, описываемой нелинейным разностным уравнением

, ,

(15.1)

где ,  - векторы состояния и управления соответственно;  - вектор возмущения в -й момент времени;  - вектор-функция; - количество шагов (временных) управления.

Как и прежде, на вектор управления накладывается ограничение вида , где под  понимается допустимое множество векторов  в -й момент времени.

Будем считать, что статистические характеристики случайных векторов ,  полностью известны.

Не нарушая общности, можно считать, что вектор состояния в начальный момент времени  известен. Возможные случайные разбросы начальных условий могут быть отнесены к вектору .

Задача программирования оптимального управления заключается в определении последовательности , , , которая обеспечивает перевод системы (15.1) из начального состояния , в конечное  с минимальным значением некоторого критерия. В качестве такого критерия примем математическое ожидание функции конечного состояния . Таким образом, минимизации подлежит величина

.

(15.2)

Здесь и далее символ " –" означает операцию математического ожидания. В соответствии с определением математического ожидания в развернутом виде выражение (15.2) имеет следующий вид:

.

Здесь  - плотность распределения вероятностей случайного вектора ;  - допустимое множество всех случайных векторов;  - элементарный объем этого множества. Интеграл в выражении следует понимать как многомерный.

Получим необходимые условия оптимальности для данной задачи, следуя подходу, использованному ранее в детерминированном случае.

Итак, будем считать, что критерий (15.2) является некоторой функцией искомого управления

.

(15.3)

Здесь под  понимаются последовательности , , представленные в виде расширенных векторов , . Задача оптимизации состоит в отыскании среди допустимых такого вектора , который обращает в минимум критерий (15.3).

Необходимые условия оптимальности в такой задаче заключаются в выполнении условия неотрицательности производной  в точке  по любому допустимому направлению

для всех , удовлетворяющих условию , где под , в свою очередь, понимается прямое произведение множеств , ,  - достаточно малое неотрицательное число.

Полагая  для всех , а  получаем

(15.4)

для всех , удовлетворяющих условию .

Соотношение (15.4) справедливо для любого момента времени . Для придания условиям оптимальности (15.4) более конструктивной формы раскроем производные связав их с уравнением (15.1). Полагая при этом, что операции математического ожидания и дифференцирования перестановочны, можно записать

.

(15.5)

Нетрудно убедиться, что вектор , как и в детерминированном случае, связан с уравнением (15.1) следущим образом:

.

(15.6)

Здесь

;

(15.7)

 - сопряженный вектор, определяемый согласно уравнению

,

(15.8)

с граничным условием

.

(15.9)

Подставляя выражение (15.6) в условие (15.4), окончательно необходимые условия оптимальности управления можно представить в виде системы неравенств

, ,

(15.10)

которые должны выполняться для всех допустимых .

Полученный результат является обобщением соответствующего результата детерминированной теории оптимального управления, рассмотренной ранее. Однако теперь гамильтониан и сопряженный вектор, фигурирующие в (15.10), являются случайными и в каждом соотношении (15.10) присутствует дополнительно операция математического ожидания (статистического осреднения) по всем случайным факторам, что приводит к необходимости привлечения методов статистического моделирования. Последнее обстоятельство представляет основную трудность при практическом использовании полученных необходимых условий оптимальности.

Остановимся на некоторых частных случаях.

Ограничения на управление отсутствуют. В этом случае для выполнения условий (15.10) необходимо выполнение строгих равенств

, ,

(15.11)

Случайные возмущения отсутствуют, , . В данном случае операция математического ожидания всюду опускается и необходимые условия оптимальности принимают вид (11.10) и (11.11).

Множество допустимых управлений  - выпукло, и гамильтониан  - является выпуклой по  функцией. Поскольку при этом каждое условие из (15.10) может быть интерпретировано как необходимое и достаточное условие достижения функцией  своего минимального по  значения, можно утверждать, что в данном случае справедлив дискретный стохастический принцип минимума

.

(15.12)

Упражнение 1.Показать, что в задаче управления системой (15.1) (6.1) с целью минимизации критерия

(15.13)

необходимые условия оптимальности (15.8) - (15.10) сохраняются. Однако вместо соотношения (15.7) для гамильтониана следует использовать теперь зависимость

.

(15.14)

Упражнение 2. Показать, как изменятся необходимые условия оптимальности в задаче управления системой (15.1) с критерием (15.2) при дополнительном условии

.

Упражнение 3. Составить алгоритм численного решения задачи программирования оптимального управления системой (15.1) с использованием градиентных методов поиска.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: