Необходимые условия особого управления

Распространим рассмотренный подход определения особого управления на задачу в общем виде, ограничившись наиболее типичным случаем вырожденной задачи, когда гамильтониан является линейной функцией управления. Пусть математическая модель системы имеет вид

, , ,

(12.1)

где  - вектор размерности ; - скаляр.

Будем считать, что время  свободно. Требуется найти среди допустимых такое управление , которое обеспечивает минимум критерию

.

(12.2)

Составим гамильтониан

.

(12.3)

Если допустить, что на некотором конечном интервале времени , то гамильтониан  на этом интервале не будет зависеть от , поэтому оптимальное управление не может быть найдено из условия (11.38). Предположим, что оптимальное управление (теперь особое управление) все же существует. Получим дополнительные необходимые условия, которым оно должно удовлетворять.

Введем обозначения

.

(12.4)

Очевидно, для любого  при оптимальном управлении имеют место следующие соотношения:

; ,

(12.5)

При,  согласно (12.3) и(11.40), (11.41) имеем

;	(12.6)
.	(12.7)

Сравнивая (12.6) с (12.7), замечаем, что условия(12.5) при  выполняются автоматически при любом , если имеет место равенство

,

(12.8)

где

(12.9)

Другими словами, в условиях (12.5) при =1 достаточно ограничиться лишь условием .

Пусть теперь =2. С учетом принятого обозначения (12.9)

,

(12.10)

где

; .

(12.11)

Если окажется, что  не обращается в нуль автоматически, то соотношение (12.10) позволяет, найти управление

,

(12.12)

которое может быть искомым особым управлением, если оно удовлетворяет условию .

Однако может оказаться, что =0. В этом случае особое управление по-прежнему не может быть найдено, так как (12.10) принимает вид

.

(12.13)

Анализируя условие , можно получить тот же результат. Другими словами, и при =2 достаточно рассмотреть условие .

Аналогичный результат имеет место и при любом . По индукции устанавливаем, что при произвольном  должно быть выполнено условие

,

(12.14)

где

;	(12.15)
;	(12.16)

Если при этом оказывается, что , то из (3.14) находим управление

,

(12.17)

которое может быть искомым, если оно является допустимым, т.е. .

Теперь представим себе, что во всех производных, включая , коэффициенты при  равны нулю. В этом случае составить следующую систему уравнений относительно вектора:

	(12.18)
........
,

которую можно представить в матричном виде

,

(12.19)

где

.

(12.20)

Система (12.19) может быть решена относительно вектора , если матрица  является вырожденной, т.е. если ее определитель обращается в нуль

.

(12.21)

Таким образом, если последовательное дифференцирование функций  по времени приводит к системе (12.19), то необходимым условием существования особого управления является равенство нулю определителя матрицы . Равенство (12.21) задает в пространстве  некоторое многообразие, на котором должна находиться искомая траектория. Дифференцируя (12.21) по времени и учитывая (12.1), получаем

(12.22)

откуда находим управление

,

(12.23)

которое может быть особым, если оно удовлетворяет условию .

Существуют и другие способы определения особого управления. С ними можно познакомиться в работах А.М.Летова [6], В.Ф.Кротова и В.И.Гурмана [5], Р.Габасова и Ф.М.Кирилловой [2].

 

Упражнение 1. Получить соотношения (12.6), (12.7), (12.10), (12.11). Доказать справедливость соотношений (12.14)-(12.16).

Упражнение 2. Показать, что для получения необходимых условий существования особого управления достаточно ограничиться рассмотрением соотношений . Соотношения  при этом выполняются автоматически.

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ФАЗОВЫЙ ВЕКТОР

До сих пор мы предполагали, что на фазовый вектор  никаких ограничений не накладывается. Мы учитывали лишь ограничения на вектор управления. Теперь перейдем к изучению более общего случая, когда оба ограничения оказываются существенными. Будем рассматривать систему

,

(13.1)

полагая теперь, что , , причем множество  задано в виде неравенства

,

(13.2)

где - некоторая заданная дифференцируемая вектор-функция.

В качестве критерия оптимальности, как и прежде, будем рассматривать функцию конечного состояния

.

(13.3)

Рассмотрим сначала случай, когда оптимальная траектория полностью лежит на границе множества

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: