Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей

3.1 σ -алгебра событий

Пусть Ω — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств Ω , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

То есть событиями мы будем называть не любые подмножества Ω , а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» Ψ. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество Ψ подмножеств Ω было «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов Ψ ) снова давало событие (то есть элемент Ψ ).

Определение 10. Множество Ψ, состоящее из подмножеств множества Ω , (не обязательно всех! ) называется σ - алгеброй событий, или σ – алгеброй подмножеств Ω , если выполнены следующие условия:

( A1 ) Ω Î Ψ (σ -алгебра событий содержит достоверное событие);

( A2 ) если , то  (вместе с любым событием σ -алгебра содержит противоположное событие);

( A3 ) если А₁, А₂… Î Ψ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их объединение).

Условия ( A1 )–( A3 ) часто называют «аксиомами σ - алгебры».

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества Ψ относительно других операций над событиями.

Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что Ψ не пусто, т.е. содержит хоть один элемент.

Свойство 1. Æ Î Ψ (σ -алгебра событий содержит невозможное событие).

Доказательство. По (A1), Ω Î Ψ, но Æ = Ω / Ω = Ω Î Ψ в силу ( A2 ).

Свойство 2. При выполнении ( A1 ), ( A2 ) свойство ( A3 ) эквивалентно свойству ( A4 )

( A4 ) если А₁, А₂… Î Ψ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их пересечение).

Доказательство. Докажем, что при выполнении ( A1 ), ( A2 ) из ( A3 ) следует ( A4 ).

Если А₁, А₂… Î Ψ, то при всех i = 1, 2, … по свойству ( A2 ) выполнено

Тогда из ( A3 ) следует, что

и, по ( A2 ), дополнение к этому множеству также принадлежит Ψ , то есть

 

Но, в силу формул двойственности,

Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.

Свойство 3. Если А, ВÎ Ψ, то А\ ВÎ Ψ

Пример 12. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}— пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств Ω являются σ -алгебрами (доказать! ):

1. Ψ = { Ω , Æ } ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Æ }— тривиальная σ -алгебра.

2. Ψ = { Ω , Æ , {1}, {1}} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Æ , {1}, {2, 3, 4, 5, 6} }.

3. Ψ = { Ω , A, A } ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Æ , A, A }., где A — произвольное подмножество Ω (в предыдущем примере A ={1} ).

Итак, мы определили специальный класс Ψ подмножеств пространства элементарных исходов Ω , названный σ -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из Ψ снова дает множество из Ψ (не выводит за рамки этого класса). Множества АÎ Ψ мы и назвали «событиями».

Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру, заданную на σ -алгебре Ψ подмножеств Ω.

Вероятность как нормированная мера

Определение 11.

Пусть Ω — некоторое множество и Ψ — σ -алгебра его подмножеств. Функция μ: Ψ → R U {∞ } называется мерой на ( Ω, Ψ ), если она удовлетворяет условиям:

( M1 ) Для любого множества А Î Ψ его мера неотрицательна: μ (А)≥ 0.

( M2 ) Для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств А₁, А₂… Î Ψ мера их объединения равна сумме их мер:

 («счетная аддитивность» или «σ -аддитивность»). Иначе говоря, мера есть неотрицательная, счетно-аддитивная функция множеств.

Определение 12.

Пусть Ω — некоторое множество и Ψ — σ -алгебра его подмножеств. Мера μ: Ψ → R называется нормированной, если μ (Ω ) = 1. Другое название нормированной меры — «вероятность» или «вероятностная мера».

То же самое еще раз и подробно:

Определение 13.

Пусть Ω — пространство элементарных исходов и Ψ — σ -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на ( Ω, Ψ ), называется функция P Ψ → R, обладающая свойствами:

( P1 ) Для любого события А Î Ψ выполняется неравенство P(А)≥ 0;

( P2 ) Для любого счетного набора попарно несовместных событий А₁, А₂… Î Ψ имеет место равенство

( P3 ) Вероятность достоверного события равна единице: P(Ω ) = 1.

Свойства ( P1 )–( P3 ) часто называют «аксиомами вероятности».

Определение 14.

Тройка ( Ω, Ψ , Р ), в которой Ω — пространство элементарных исходов, Ψ — σ -алгебра его подмножеств и P — вероятностная мера на Ψ, называется вероятностным пространством.

Выпишем свойства вероятности:

0.

1. Для любого конечного набора попарно несовместимых событий А₁, А₂… Î Ψ имеет место равенство

2.

3. Если , то

4. Если , то

5.

6.

7.

8.

9. (2)

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: