Прочие полезные свойства функций распределения

F4 ) В любой точке х₀ разница F_ξ (х₀+0) - F_ξ (х₀) равна P ( ξ = х₀):

Следствие 3. Если функция распределения F_ξ ( x ) непрерывна в точке х₀, то

P ( ξ = х₀) = 0

F5 ) Для любой случайной величины ξ имеет место равенство P (а £ ξ < b ) = F_ξ ( a ) - F_ξ ( b ).

Если же функция распределения F_ξ ( x ) непрерывна (для любого x, или только в точках a и b), то

P (а £ ξ < b ) = P (а < ξ < b ) = P (а £ ξ £ b ) = P (а < ξ £ b ) = F_ξ ( a ) - F_ξ ( b )

 

Функция распределения дискретного распределения

Мы уже видели, как выглядят функции распределения некоторых дискретных распределений. Из свойств (F4), (F5) следует

Свойство 4. Случайная величина ξ имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения F_ξ — ступенчатая функция. При этом возможные значения ξ — точки a _i скачков F_ξ , и

p_i = P( ξ = a_i ) = F_ξ ( a_i + 0) - F_ξ ( a_i )— величины скачков.

В следующей главе мы рассмотрим случайные величины, функции распределения которых не удовлетворяют свойству 4 хотя бы потому, что они вовсе не имеют разрывов. Более того, мы выделим класс функций распределения, которые «восстанавливаются по своей производной» с помощью интегрирования (так называемые абсолютно непрерывные функции).

Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения

Определение 28. Случайная величина ξ имеет называемые абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f_ξ ( x ) такая, что для любого х Î R функция распределения F_ξ ( x ) представима в виде

При этом функция f_ξ ( x ) называется плотностью распределения случайной величины ξ .

Теорема 21. Плотность распределения обладает свойствами:

( f1 ) f_ξ ( x ) ³ 0  для любого x;

( f2 )

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 2. Если функция f обладает свойствами ( f1 ) и ( f2 ), то существует вероятностное пространство и случайная величина ξ на нем, для которой f является плотностью распределения.

Доказательство. Пусть Ω есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f (« подграфик» функции f). Площадь области Ω равна 1 по свойству ( f2 ). И пусть случайная величина ξ есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область.

Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любого х Î R

то есть f является плотностью распределения случайной величины ξ

Свойства плотностей

( f3 ) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения всюду непрерывна.

Следствие 4. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то P( ξ = х) = 0 для любого х Î R.

( f4 ) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения дифференцируема почти всюду, и

для почти всех х.

Замечание 12. Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) х из некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл (« площадь подграфика») от этого не изменится.

( f5 ) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то

Доказательство. Действительно,

Остальные равенства вытекают из следствия 5.

Примеры абсолютно непрерывных распределений

Равномерное.

Это распределение нам уже знакомо. Говорят, что ξ имеет равномерное распределение на отрезке [ a, b ], и пишут ξ Î U _{a, b} если

Заметьте, что в точках a и b функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.

Показательное.

 Говорят, что ξ имеет показательное распределение с параметром α , α > 0 и ξ Î Е _α , если

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «не старения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

Теорема 21. Свойство «Не старения». Пусть ξ Î Е _α . Тогда для любых х, у > 0

Нормальное.

Говорят, что ξ имеет нормальное распределение с параметрами а и σ ², где а Î R, σ > 0, и пишут ξ Î  если ξ имеет следующую плотность распределения:

для любого x Î R

Убедимся, что f_ξ ( x )действительно является плотностью распределения. Так как f_ξ ( x ) > 0 для всех x Î R, то свойство ( f1 ) выполнено. Проверим выполнение ( f2 ). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона)

Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: