Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, нам нужна вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений:

и вычисление даже одного слагаемого в каждом из этих выражений весьма проблематично.

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означать n → ∞. Если при этом p = p_n→ 0, то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха p = p_n→ 0 одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли).

Поэтому рассмотрим «схему серий»: есть

одно испытание ○         с вероятностью успеха p ₁

два испытания ○ , ○      с вероятностью успеха p ₂

…

n испытаний ○ , …, ○    с вероятностью успеха p_n

…

Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний. Обозначим через v_n число успехов в n-той серии испытаний.

Теорема 17 ( Теорема Пуассона ).

Пусть n → ∞ , p_n→ 0 так, что n p_n→ λ > 0. Тогда для любого k ≥ 0 вероятность получить k успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p_n стремится к величине

                                                                                                                                                                       (5)

для n → ∞ , p_n→ 0 так, что n p_n→ λ

Определение 22. Пусть λ > 0— некоторая постоянная. Набор чисел  называется распределением Пуассона с параметром λ .

Пользуясь теоремой 17, можно приближенно посчитать вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003, с вычисления которой мы начали. Поскольку n = 1000 «велико», а p_n = 0.003 «мало», то, взяв λ = n p_n = 3 , можно написать приближенное равенство

(6)

Осталось решить, а достаточно ли n=10³ «велико», а p_n = 0.003 «мало», чтобы заменить точную вероятность P( v_n = k ) на приближенное значение

Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими двумя вероятностями.

Теорема 18 ( Теорема Пуассона с оценкой погрешности ).

Пусть A Í {0, 1, …, n } — произвольное множество целых неотрицательных чисел, v_n — число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p, λ = n p. Тогда

Таким образом, теорема 18 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли n «велико», а p «мало», руководствуясь полученной величиной погрешности.

Какова же погрешность в формуле (6)?

 

Погрешность не более 0, 009 (при вероятности около 0, 001). Во всяком случае, можно утверждать, что искомая вероятность никак не больше, чем 0, 01=0, 001+0, 009.

Рассмотрим еще одну формулу приближенного вычисления p_n (m) когда n велико. В отличии от предыдущего результата число успехов m в этом случае тоже растет с ростом n, а вероятность успеха постоянна.

Локальная теорема Муавра – Лапласа

Пусть .Предположим, что и величины являются ограниченными. Тогда

В частности, если , то

Доказательство:

В силу ограниченности величин  разность вместе с n и m Воспользуемся формулой Стирлинга

В силу определения

 

Раздел 6. Случайные величины и их распределения

Случайные величины

Мы уже видели, что для очень многих экспериментов нет никаких различий в подсчете вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. То есть ввести соответствие (иначе говоря, отображение) между элементарными исходами и вещественными числами (с ними удобно работать).

Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство ( Ω, Ψ , Р).

Определение 23. Функция ξ: Ω → R называется случайной величиной, если для любого х Î R множество { ξ < x } = { ω : ξ ( ω ) < x } является событием, то есть принадлежит σ -алгебре событий Ψ.

Замечание 10. Можно смело считать, что любое множество элементарных исходов есть событие, и, следовательно, случайная величина есть произвольная функция из Ω в R. Никаких неприятностей на практике это обычно не влечет.

Определение 24. Будем говорить, что функция ξ : Ω → R является Ψ -измеримой, если { ω : ξ ( ω ) < x } принадлежит Ψ для любого х Î R.

Итак, случайная величина есть Ψ - измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу ω Î Ω число ξ ( ω ) Î R.

Пример 21. Подбрасываем 1 раз кубик. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, и две функции из Ω в заданы так: ξ (ω )= ω , η (ω )= ω ².

Если Ψ есть множество всех подмножеств Ω , то ξ и η являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит Ψ, в том числе и {ω: ξ (ω ) < x} или {ω: η (ω ) < x}. Можно записать соответствие между значениями случайных величин ξ и η вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»:

 

ξ	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

η	1	4	9	16	25	36
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Здесь 1/6 = Р( ξ =1)=…= Р( ξ =6) = Р( η =1)= …= Р( η =36)

Пусть σ -алгебра событий Ψ состоит всего из четырех множеств:

Ψ = { Ω , Æ , {1, 3, 5}, {2, 4, 6} }

то есть событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного (соответственно, нечетного) числа очков. Убедимся, что при такой «бедной» σ -алгебре ни ξ , ни η не являются случайными величинами, так как эти функции не Ψ - измеримы. Возьмем (например) x = 3, 967. Видим, что

{ ω Î Ω: ξ ( ω ) < 3, 967}= {1, 2, 3} Ï Ψ и { ω Î Ω: η ( ω ) < 3, 967}= {1} Ï Ψ

Теперь попробуем понять, зачем нужна Ψ - измеримость и почему требуется, чтобы { ω : ξ ( ω ) < x } являлось событием.

Если задана случайная величина ξ , нам может потребоваться вычислить вероятности типа

P( ξ = 5) = P{ ω : ξ ( ω ) = 5},

P (ξ Î [-3, 7]),

P(ξ ³ 3, 2),

P( ξ > 0)

(и вообще самые разные вероятности попадания в различные множества на прямой). Это возможно только если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями (напомню, что вероятность есть функция из σ - алгебры событий в [0, 1]).

Но если потребовать, чтобы A_x = { ω : ξ ( ω ) < x } было событием при любом x, то мы из свойств σ - алгебры сразу получим, что

и — событие, и — событие,

и — событие,

и { ω : ξ ( ω ) = x }= B_x \ A_x — событие,                                                                                                                (7)

и т.д., и т.п. (операции пересечения, объединения, дополнения событий не выводят из класса событий).

Можно потребовать в определении 23 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: ( ω : ξ ( ω ) Î [ a, b ]) для любых a < b.

Или чтобы { ω : ξ ( ω ) ³ x } было событием для любого x. Любое такое определение эквивалентно исходному.

Опишем различные типы распределений случайных величин. Под распределением случайной величины мы будем понимать соответствие

«значение случайной величины ↔ вероятность принимать это значение»,

либо (чаще)

«множество на прямой ↔ вероятность случайной величине попасть в это множество».

Дискретные распределения

Определение 25. Говорят, что случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел { a ₁, a ₂, …} такой, что:

а) p_i = P { ξ = a_i } > 0 для всех i;

б) .

То есть случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.

Определение 26. Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, назовем таблицей распределения соответствие a_i ↔ p_i, которое чаще всего рисуют так:

 

ξ	а1	а2	а3	…
Р	р1	р2	р3	…

Примеры дискретных распределений

Вырожденное распределение.

Говорят, что случайная величина ξ имеет вырожденное распределение с параметром а, и пишут ξ Î I _a если ξ принимает единственное значение а с вероятностью 1, то есть P( ξ = a ) = 1. Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	а
Р	1

 

Распределение Бернулли.

Говорят, что случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р, и пишут ξ Î В _р, если ξ принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и 1 - р, соответственно. Случайная величина ξ с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха (0 успехов или 1 успех). Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	0	1
Р	(1- p )	р

 

Биномиальное распределение.

Говорят, что случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0 £ p £ , n и пишут ξ Î В _{n , р}, если ξ принимает значения 0, 1, …, n с вероятностями P( ξ = k ) = C_n^k p^k (1- p ) ^{n - k}. Случайная величина ξ с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р.

Таблица распределения ξ имеет вид

 

ξ	0	1	…	k	…	n
Р	(1-p)n	n p(1-p)n-1	…	Cnk pk (1-p)n-k	…	Pn

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: