Раздел 4. Условная вероятность, независимость

Условная вероятность

Пример 13. Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?

В данном случае пространство элементарных исходов состоит из трех равновозможных элементарных исходов: Ω = {4, 5, 6}, и событию A = {выпало четное число очков} благоприятствуют 2 из них: A = {4, 6}. Поэтому P( A ) = 2/3.

Посмотрим на этот вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Слова «известно, что выпало более трех очков» означают, что в эксперименте произошло событие B = {4, 5, 6}, . Слова «какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков? » означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении B происходит и А. Вероятность события А, вычисленную в предположении, что нечто о результате эксперимента уже известно (событие B произошло), мы будем обозначать через P(A/B)

Мы хотим вычислить отношение числа исходов, благоприятствующих А внутри B (то есть благоприятствующих одновременно A и B), к числу исходов, благоприятствующих B.

Определение 15. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется число

Будем считать, что условная вероятность определена только в случае, когда P(В) > 0.

Следующее свойство называется " теоремой умножения":

Теорема 6. P(A∩ B) = P(B)P(A\B) = P(A)P(B\A), если соответствующие условные вероятности определены (то есть если P(В) > 0, P(A) > 0).

Теорема умножения для большего числа событий:

Теорема 7. P(A₁ ∩ A₂ ∩ …∩ A_n) = P(A₁) P(A₂\A₁) P(A₃ \A₁ ∩ A₂)… P(A_n \A₁∩ …∩ A_n-1)если соответствующие условные вероятности определены.

Независимость

Определение 16. События A и B называются независимыми, если P(A∩ B) = P(A)P(B)

Пример 14.

1. Точка с координатами ξ, η бросается наудачу в квадрат со стороной 1. Доказать, что для любых х, у Î R события A = { ξ < x } и B = { η < y } независимы.

2. Точка с координатами ξ , η бросается наудачу в треугольник с вершинами (1, 0), (0, 0) и (0, 1). Доказать, что события A = { ξ < 1/2} и B = { η < 1/2} зависимы.

 

1. Рассмотрим х, у Î [0, 1]). Видим, что P ( A ) = x, P ( B ) = y, P ( A ∩ B ) = x y, так что A = { ξ < 1/2} и B = { η < 1/2} независимы.

2. На рисунке видим, что P( A ) = 3/4, P( B ) = 3/4 P( A ∩ B ) = 1/2ч≠ (3/4)², так что события A = { ξ < 1/2} и B = { η < 1/2}  зависимы.

Замечание 8. Если события A и B несовместны, то они независимы, если и только если P ( A ) = 0 или P ( B ) = 0

Следствие 2. Если P ( B ) > 0, то события А и В независимы P (А\В) =Р(А)

Если P(А) > 0, то события А и В независимы P(В\А) =Р(В)

Лемма 1. Если события А и В независимы, то независимы и события .

Определение 17. События А₁, А₂…А _n называются независимыми в совокупности, если для любого набора

1 ≤ i₁, i₂…i_k ≤ n

)                                                                              (3)

Замечание 9. Если события А₁, А₂…А _n независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события А _i, А _j независимы. Достаточно в равенстве (3) взять k =2. Обратное, как показывает следующий пример, неверно.

Пример 15 (Пример С. Н. Бернштейна).

Рассмотрим правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены, соответственно, в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета. Событие A, (B, C) означает, что выпала грань, содержащая красный (синий, зеленый) цвета.

Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 1/2, то все события попарно независимы.

Но вероятность пересечения всех трех тоже равна 1/4, а не 1/8, то есть события не являются независимыми в совокупности.

Заметьте, что равенство (6) выполнено для k = 2, но не выполнено для k = 3.

Формула полной вероятности

Пример 16. Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод — 35% и 3-й завод — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если это изделие бракованное.

Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, то есть

0, 05*0, 25 + 0, 03*0, 35 + 0, 04*0, 4.

Вторая вероятность равна доле брака 1-го завода среди всего брака, то есть

Определение 18. Набор попарно несовместных событий Н₁, Н₂… таких, что P(А _i ) > 0 для всех i и

называется полной группой событий или разбиение пространства Ω

События Н₁, Н₂ …, образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события А могут быть сравнительно просто вычислены P(А/ Н _i ) (вероятность событию А произойти при выполнении «гипотезы» Н _i) и собственно P(Н _i )(вероятность выполнения «гипотезы» Н _i).

Теорема 8 ( Формула полной вероятности ).

Пусть Н₁, Н₂ — полная группа событий. Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле:

4.4 Формула Байеса

Теорема 9 ( Формула Байеса ).

Пусть Н₁, Н₂ …— полная группа событий и A — некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Н _k, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

 

Пример 17. Вернемся к примеру 15. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: Н _i = {изделие изготовлено i-м заводом }, i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий даны: P(Н₁) = 0, 25, P(Н₂) = 0, 35, P(Н₃) = 0, 4. Пусть A = {изделие оказалось бракованным }. Даны также условные вероятности P( A \Н₁) = 0, 05, P( A \Н₂) = 0, 03, P( A \Н₃) = 0, 04

Пример 18. Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0, 00001. Можно сделать два предположения об эксперименте:

Н₁ = {стреляет 1-й стрелок}

Н₂ = { стреляет 2-й стрелок }.

Априорные (a’priori —«до опыта») вероятности этих гипотез одинаковы: P(Н₁) = P(Н₁) = 1/2.

Рассмотрим событие A = {пуля попала в мишень}. Известно, что

P( A \Н₁) = 1, P( A \Н₂) = 0, 00001

Поэтому вероятность пуле попасть в мишень P( A ) = 1/2*1 + 1/2*0, 00001.. Предположим, что событие A произошло. Какова теперь апостериорная (a’posteriori — «после опыта») вероятность каждой из гипотез Н _i? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 100000 раз). Действительно,

Раздел 5. Схема Бернулли

5.1 Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение 19. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятность р Î [0, 1], «неудача» — с вероятностью q = 1 - p.

Теорема 10 ( Формула Бернулли ).

Обозначим через v_n число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k = 0, 1, … n

 

Доказательство. Событие A ={ v_n = k} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию A  элементарных исходов:

 

Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна p^k (1 - p ) ^{n - k}.

Другие благоприятствующие событию A элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно  способов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из  элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна p^k (1 - p ) ^{n - k}.

Определение 20. Набор чисел

называется биноминальным распределением вероятностей  и обозначается В _np или B ( n, p ).

Теорема 11 Пусть m ₁, m ₂ целые числа, 0 £ m ₁ £ m £  m ₂ £ n Обозначим через Р_n(m ₁, m ₂ ) вероятность того, что событие А наступило не менее m ₁ и не более m ₂ раз в n испытаниях. Тогда

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: