Групповые методы принятия решений

Постановка задачи

Дано:

­ a₁, a₂, …, a_n – альтернативы, n – количество альтернатив,

­ P₁, P₂, … P_m – индивидуальные ранжирования альтернатив экспертами, m – количество экспертов.

Ранжирования имеют вид , где  – альтернатива, стоящая на первом месте в ранжировании P₁,  – альтернатива, стоящая на n-м месте в ранжировании P₁. Альтернатива  имеет ранг 1, альтернатива  имеет ранг n.

Требуется найти: итоговое ранжирование P*, учитывающее мнение всех экспертов.

 

Правило большинства

Согласно правилу большинства подсчитывается число экспертов, отдавших предпочтение каждой из альтернатив, и наилучшей объявляется альтернатива, которую назвали лучшей большинство экспертов. Пусть рассматриваются 5 альтернатив. Их ранжирования, соответствующие мнению 10 экспертов, представлены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Пример ранжирования альтернатив экспертами

Эксперт № 1	Эксперт № 2	Эксперт № 3	Эксперт № 4	Эксперт № 5	Эксперт № 6	Эксперт № 7	Эксперт № 8	Эксперт № 9	Эксперт № 10
A1	A1	A1	A4	A3	A5	A2	A3	A4	A5
A2	A2	A5	A2	A2	A4	A4	A2	A2	A2
A5	A5	A3	A5	A5	A2	A3	A4	A5	A4
A3	A4	A4	A3	A4	A3	A5	A5	A3	A3
A4	A3	A2	A1	A1	A1	A1	A1	A1	A1

В данном случае, по правилу большинства лучшей окажется альтернатива A1, так как ее назвали лучшей 3 эксперта (для остальных альтернатив это число меньше или равно 2). Однако эту же альтернативу признали худшей 7 из 10 экспертов. Так что признание альтернативы A1 лучшей весьма спорно. Для устранения подобных недостатков вводят дополнительные требования. Например, лучшей может стать только та альтернатива, которую считают лучшей не менее половины экспертов. При таких условиях лучшей альтернативы вообще может не оказаться.

 

Принцип Кондорсе

Кондорсе был предложен следующий случай определения лучшей альтернативы. Каждый эксперт ранжирует альтернативы по предпочтениям. На основании полученных ранжирований для каждой пары альтернатив A_i и A_j подсчитывается S_ij – число экспертов, считающих A_i более предпочтительной, чем A_j. Если S_ij> S_ji, то альтернатива A_i признается боле предпочтительной, чем A_j. Лучшей альтернативой объявляется A_i, если S_ij> S_ji для всех i ≠ j. В данном случае альтернативой Кондорсе является альтернатива A2. Однако при использовании принципа Кондорсе может возникнуть парадокс, являющийся следствием нетранзитивности коллективных отношений. Если три эксперта проранжировали альтернативы A1, A2, A3 следующим образом:

A1 A3 A2

A2 A1 A3

A3 A2 A1

то S₁₂> S₂₁, S₂₃> S₃₂, S₃₁> S₁₃. Альтернативы Кондорсе в данном случае не существует.

 

Метод Борда

В основе метода Борда лежит упорядочивание альтернатив на основе сумм рангов, назначенных альтернативам экспертами [19, с. 62]. Альтернативам, проранжированным экспертами, ставится в соответствие число: последней по предпочтению – 0, предпоследней – 1 и т.д. Метод состоит из 2 этапов:

1. на первом этапе для каждого объекта с номером k определяется величина S_k, равная сумме рангов, присвоенных объекту всеми экспертами:

;

2. на втором этапе определяется ранг объекта – чем больше величина S_k, тем выше место альтернативы в искомом ранжировании.

 

6.3.1. Пример

Пусть имеются альтернативы a₁, a₂, a₃, a₄ и ранжирования этих альтернатив экспертами (табл. 6.2). Требуется найти итоговое ранжирование.

 

Таблица 6.2

Ранжирования критериев экспертами

P1	a 3	P2	a 2	P3	a1	P4	a4
	a 2		a3,		a3, a4		a3
	a 4		a 4		a2		a1, a2
	a 1		a 1

 

Обозначим полученные на основе ранжирований альтернатив экспертами ранги R₁, R₂, R₃, R₄. Процесс построения итогового ранжирования с помощью метода Борда представлен в табл. 6.3.

 

Таблица 6.3

Построение итогового ранжирования

Альтернатива	R 1	R 2	R 3	R 4	Сумма рангов S k	Место в итоговом ранжировании
a 1	0	0	2	0	2	3
a 2	2	3	0	0	5	2
a 3	3	2	1	1	7	1
a 4	1	1	1	2	5	2

 

Метод поиска медианы Кемени

Метод поиска медианы Кемени позволяет найти такое итоговое ранжирование P, суммарное расстояние от которого до всех заданных ранжирований минимальное:

,

где m – количество экспертов, P₁, …, P_m – ранжирования, d(P, P _u) – расстояние между ранжированиями [19, с. 73].

Таким образом, для поиска медианы необходимо ввести понятие расстояния между ранжированиями. Оно определяется с помощью матриц отношений , , , n – количество альтернатив.

r_i, r_j – ранги i-той и j-той альтернатив в ранжировании h-го эксперта. Отметим, что ранги альтернатив сравниваются наоборот, то есть ранг r _i =1> r _j =2 (ранг 1 больше ранга 2) и r _i =5< r _j =3 (ранг 5 меньше ранга 3).

Расстояние от произвольного ранжирования P, которому соответствует матрица , до всех ранжирований P₁, P₂, …, P_m, которым соответствуют матрицы парных отношений , …,  определяется по формуле:

.

Для нахождения медианы Кемени вводится матрица потерь , :

,

где P – ранжирование, элемент матрицы отношений p_ij которого равен 1.

При этом задача поиска медианы Кемени для ранжирований формулируется как задача отыскания такого упорядочения альтернатив, а следовательно, строк и столбцов матрицы потерь, чтобы сумма ее элементов, расположенных над диагональю, была минимальна.

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: