Метод Ньютона (метод касательных).

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

Этот метод в отличие от метода хорд на -ой итерации вместо построения хорды требует построить касательную к кривой при , при этом за следующее приближение принимается точка пересечения этой касательной с осью Ох. Пользуясь этим методом не обязательно знать отрезок , где содержится корень уравнения , а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение к корню .

Запишем уравнение касательной к кривой в точке

(3.1)

Положим здесь , тогда будет равен _.

и найдем отсюда

(3.2)

-следующее приближение к корню уравнения (I).

Аналогично можно найти и следующие приближения

, (3.3)

здесь и .

Вычисления по формуле (3.3) надо вести до тех пор, пока

(3.4)

не станет меньше или не будет выполняться условие

(3.5)

Модифицированный метод Ньютона.

Чтобы уменьшить количество арифметических операций на каждом шаге итераций в вычислительной практике для решения уравнений вида (I) часто используют модифицированный метод Ньютона. Отличие этого метода от метода Ньютона состоит в том, что в рабочей формуле (3.3) вместо величин , стоящей в знаменателе, используют величину , которая не зависит от номера итерации и может быть вычислена заранее всего один раз. Таким образом, рабочая формула модифицированного метода Ньютона имеет вид

, (4.1)

Трудность в использовании метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона состоит в выборе начального приближения, которое обязательно должно принадлежать некоторой окрестности корня решаемого уравнения. Поэтому иногда целесообразно применить смешанный алгоритм. Он состоит в том, что сначала применяется всегда сходящийся метод (например, метод деления отрезка пополам или метод хорд), а после некоторого числа итераций – быстро сходящийся метод Ньютона.

Метод простой итерации.

При использовании этого метода исходное нелинейное уравнение (I) записывается в виде

(5.1)