Глава 3. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

 

Цель работы. Знакомство с некоторыми приближёнными методами решения СЛАУ и их численной реализацией на ПК.

Предварительные замечания. Все методы решения СЛАУ обычно разделяют на две большие группы. К первой группе относятся методы, которые принято называть точными. Эти методы позволяют для любых систем найти точные значения неизвестных после конечного числа арифметических операций, каждая из которых выполняется точно.

Ко второй группе относятся все методы, не являющиеся точными. Их называют итерационными, или численными, или приближёнными. Точное решение, при использовании таких методов, получается в результате бесконечного процесса приближений. Привлекательной чертой таких методов является их самоисправляемость и простота реализации на ПК.

Рассмотрим некоторые приближённые методы решения СЛАУ и построим алгоритмы их численной реализации. Приближённое решение СЛАУ будем получать с точностью до , где  некоторое очень маленькое положительное число.

Метод итерации.

 

Пусть СЛАУ задана в виде

                               (1.1)

Эту систему можно записать в матричном виде

,                                       (1.2)

где - матрица коэффициентов при неизвестных в системе (1.1), - столбец свободных членов, - столбец неизвестных системы (1.1).

Будем считать, что система (1.1) определена и совместна, т.е. имеет единственное решение. Это решение обозначим

.                                 (1.3)

Решим систему (1.1) методом итерации. Для этого выполним следующие действия.

Во-первых. Выберем нулевое приближение

                                 (1.4)

к точному решению (1.3) системы (1.1). Компонентами нулевого приближения могут быть любые числа. Но удобнее за компоненты нулевого приближения взять либо нули , либо свободные члены системы (1.1)

Во-вторых. Компоненты нулевого приближения подставим в правую часть системы (1.1) и вычислим

                    (1.5)

Величины, стоящие слева в (1.5) являются компонентами первого приближения  Действия, в результате которых получилось первое приближение, называются итерацией.

В-третьих. Проверим нулевое и первое приближения на

                                   (1.6)

Если все условия (1.6) выполняются, то за приближённое решение системы (1.1) выберем, либо , либо всё равно, т.к. они отличаются друг от друга не больше чем на  и закончим вычисления. Если хотя бы одно из условий (1.6) не будет выполнено, то перейдём к следующему действию.

В-четвёртых. Выполним следующую итерацию, т.е. в правую часть системы (1.1) подставим компоненты первого приближения и вычислим компоненты второго приближения , где

В-пятых. Проверим  и  на , т.е. проверим условие (1.6) для этих приближений. Если все условия (1.6) будут выполнены, то за приближённое решение системы (1.1) выберем, либо , либо  всё равно, т.к. они отличаются друг от друга не больше чем на . В противном случае будем строить следующую итерацию, подставив компоненты второго приближения в правую часть системы (1.1).

Итерации нужно строить до тех пор, пока два соседних приближения  и  будут отличаться друг от друга не больше, чем на .

Рабочую формулу метода итерации решения системы (1.1) можно записать в виде

(1.7)

Алгоритм численной реализации формулы (1.7) может быть таким.

1. Выберем , где , если не оговорено особо.

2. Положим .

3. Вычислим для всех

4. Проверим условия , .

5. Если все условия в п.4 будут выполнены, то за приближённое решение системы (1.1) выберем либо , либо  и закончим вычисления. Если хотя бы одно условие в п.4 не будет выполнено, перейдём к п.6.

6. Положим  и перейдём к п.3.

Этот алгоритм можно записать геометрически.

 

Достаточные условия сходимости метода итерации для системы (1.1) имеют вид

1. , .

2. , .

3.

Метод простой итерации.

 

Пусть система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) задана в виде

                             (2.1)

 

Чтобы систему (2.1) решить методом простой итерации, её сначала надо привести к виду

                    (2.2)

В системе (2.2) -ое уравнение представляет собой -ое уравнение системы (2.1), разрешённое относительно –ой неизвестной ( ).

Метод решения системы (2.1), состоящий в сведении её к системе (2.2) с последующим решением системы (2.2) методом итерации, называется методом простой итерации для системы (2.1).

Таким образом, рабочие формулы метода простой итерации решения системы (2.1) будут иметь вид

(2.3)

Формулы (2.3) можно записать в виде

              (2.4)

Алгоритм численной реализации метода простой итерации для системы (2.1) по формулам (2.4) может быть таким.

1. Выберем ,  если не оговорено особо.

2. Положим .

3. Для всех  вычислим

4. Проверим условия , .

5. Если все условия в п.4 будут выполнены, то за приближённое решение системы (2.1) выберем, либо , либо  и закончим вычисления. Если хотя бы одно условие в п.4 не будет выполнено, перейдём к п.6.

6. Положим  и перейдём к п.3.

Этот алгоритм можно записать геометрически.

 

Достаточные условия сходимости метода простой итерации для системы (2.1) имеют вид

1. , .

2. , .

3.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: