Стационарный метод Зейделя.

 

Метод Зейделя решения СЛАУ отличается от метода итерации тем, что найдя какое-то приближение для -той компоненты, мы сразу же используем его для отыскания следующих , , …, -ой компонент. Такой подход позволяет обеспечить более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с методом итерации.

 

Пусть СЛАУ задана в виде

                      (3.1)

Пусть - нулевое приближение к точному решению  системы (3.1). И пусть найдено -ое приближение . Определим компоненты -ого приближения  по формулам

    (3.2)

 

Формулы (3.2) можно записать в компактном виде

 , ,          (3.3)

Алгоритм численной реализации метода Зейделя решения системы (3.1) по формулам (3.3) может быть таким.

1. Выберем , например, ,

2. Положим .

3. Для всех  вычислим .

4. Для всех  проверим условия .

5. Если все условия в п.4 будут выполнены, то за приближенное решение системы (3.1) выберем либо , либо  и закончим вычисления. Если хотя бы одно условие в п.4 не будет выполнено, перейдем к п.6.

6. Положим и перейдем к п.3.

 

 

Этот алгоритм можно записать геометрически.

 

Достаточное условие сходимости метода Зейделя для системы (3.1) имеет вид , .

Нестационарный метод Зейделя.

 

Этот метод решения СЛАУ (3.1) обеспечивает еще более высокую скорость сходимости метода Зейделя.

Пусть каким-либо образом для системы (3.1) найдены компоненты -ого приближения  и -ого приближения .

Вычислим вектор поправки

.          (4.1)

Подсчитаем величины

,                            (4.2)

Расположим величины ,  в порядке их убывания.

В таком же порядке перепишем уравнения в системе (3.1) и неизвестные в этой системе.

И уже к «новой» системе применим стационарный метод Зейделя. При этом в первую очередь будут уточняться значения тех неизвестных, для которых погрешность в предыдущем приближении была наибольшей. Это и обеспечивает более высокую сходимость метода Зейделя.

Метод Некрасова.

 

Пусть СЛАУ задана в виде

                       (5.1)

Будем решать ее методом Некрасова. Для этого, во-первых, каждое уравнение системы (5.1) разрешим относительно соответствующей переменной (см. метод простой итерации).

              (5.2)

Систему (5.2) можно записать компактно

, .                      (5.3)

Во-вторых, систему (5.3) будем решать стационарным методом Зейделя по формулам:

, ,         (5.4)

Алгоритм численной реализации метода Ньютона для решения системы (5.1) по формулам (5.4) может быть таким.

1. Выберем , например, ,

2. Положим .

3. Для всех  вычислим .

4. Для всех  проверим условия .

5. Если все условия в п.4 будут выполнены, то за приближенное решение системы (5.1) выберем либо , либо  и закончим вычисления. Если хотя бы одно условие в п.4 не будет выполнено, перейдем к п.6.

6. Положим и перейдем к п.3.

 

Изложенный алгоритм можно записать геометрически.

 

Достаточным условием сходимости метода Некрасова является требование, чтобы матрица A, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных в системе (5.1), была симметричной и положительно определенной.

Задания.

Коэффициенты при переменных  и свободные члены  в системе уравнений даны в виде расширенной матрицы

Во всех заданиях требуется:

1. Составить программу численной реализации метода, согласно предложенному алгоритму.

2. Получить результаты вычислений.

1. Проверить полученные результаты.

 

1.       2.

 

3. 4.

 

5.       6.

 

 

7. 8.

 

9.           10.

 

11. 12.  

 

13. 14.

 

 

    15.

 

                                

 

Литература

 

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

2. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 2000.

3. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. Задачи и упражнения по численным методам: Учебное пособие. – М.: Эдиториал УРСС, 2000.

4. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – Спб.: БХВ-Петербург, 2005.

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: