Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. В основе метода Ньютона для системы уравнений (1.1) лежит использование разложения функций

, где (2.1)

в ряд Тейлора, причём члены, содержащие вторые и более высокие порядки производных, отбрасываются. Такой подход позволяет решение одной нелинейной системы (1.1) заменить решением ряда линейных систем.

Итак, систему (1.1) будем решать методом Ньютона. В области D выберем любую точку и назовём её нулевым приближением к точному решению исходной системы. Теперь функции (2.1) разложим в ряд Тейлора в окрестности точки . Будем иметь

(2.2)

Т.к. левые части (2.2) должны обращаться в ноль согласно (1.1), то и правые части (2.2) тоже должны обращаться в ноль. Поэтому из (2.2) имеем

(2.3)

Здесь

(2.4)

Все частные производные в (2.3) должны быть вычислены в точке .

(2.3) есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Эту систему можно решить методом Крамера, если её основной определитель будет отличен от нуля и найти величины

Теперь можно уточнить нулевое приближение , построив первое приближение с координатами

(2.5)

т.е. . (2.6)

Выясним, получено ли приближение (2.6) с достаточной степенью точности. Для этого проверим условие

, (2.7)

где наперёд заданное малое положительное число (точность, с которой должна быть решена система (1.1)). Если условие (2.7) будет выполнено, то за приближённое решение системы (1.1) выберем (2.6) и закончим вычисления. Если же условие (2.7) выполняться не будет, то выполним следующее действие. В системе (2.3) вместо возьмём уточнённые значения

, (2.8)

т.е. выполним следующие действия

. (2.9)

После этого система (2.3) будет системой линейных алгебраических уравнений относительно величин Определив эти величины, следующее второе приближение к решению системы (1.1) найдём по формулам

(2.10)

Теперь проверим условие (2.7)

Если это условие выполняется, то заканчиваем вычисления, приняв за приближённое решение системы (1.1) второе приближение . Если же это условие не выполняется, то продолжаем строить следующее приближение, приняв в (2.3) Строить приближения нужно до тех пор, пока условие на не будет выполнено.

Рабочие формулы метода Ньютона для решения системы (1.1) можно записать в виде.

Вычислить последовательность

, (2.11)

где . (2.12)

Здесь являются решением системы

(2.13)

Сформулируем алгоритм вычислений по формулам (2.11)-(2.13).

1. Выберем нулевое приближение , принадлежащее области D.

2. В системе линейных алгебраических уравнений (2.13) положим , а .

3. Решим систему (2.13) и найдём величины .

4. В формулах (2.12) положим и вычислим компоненты следующего приближения .

5. Проверим условие (2.7) на : (См. алгоритм вычисления максимума нескольких величин.)

6. Если это условие выполняется, то заканчиваем вычисления, выбрав за приближённое решение системы (1.1) приближение . Если же это условие не выполняется, то перейдём к п.7.

7. Положим для всех .

8. Выполним п.3, положив .

Геометрически этот алгоритм можно записать в виде.

Алгоритм. Вычисления максимума нескольких величин.

Пример. Рассмотрим использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений.

Методом Ньютона с точностью до решить следующую систему нелинейных уравнений

, (2.14)

здесь . Выберем нулевое приближение , принадлежащее области D. Построим систему линейных алгебраических уравнений (2.3). Она будет иметь вид

(2.15)

Обозначим

(2.16)

Решим систему (2.15) относительно неизвестных , например методом Крамера. Формулы Крамера запишем в виде

(2.17)

где основной определитель системы (2.15)

(2.18)

а вспомогательные определители системы (2.15) имеют вид

Найденные значения подставим в (2.16) и найдём компоненты первого приближения к решению системы (2.15).

Проверим условие

, (2.19)

если это условие выполняется, то заканчиваем вычисления, приняв за приближённое решение системы (2.15) первое приближение, т. е. . Если условие (2.19) не выполняется, то положим , и построим новую систему линейных алгебраических уравнений (2.15). Решив её, найдём второе приближение . Проверим его на . Если это условие будет выполняться, то за приближённое решение системы (2.15) выберем . Если условие на не будет выполняться, положим , и построим следующую систему (2.15) для нахождения и т. д.