Глава 2. Численные методы решения систем нелинейных уравнений.

 

Цель работы. Знакомство с приближёнными методами решения систем нелинейных уравнений и их численной реализацией на ПК.

Предварительные замечания. Методы решения систем уравнений обычно разделяют на две большие группы. К первой группе относят методы, которые называют точными. Они позволяют для любых систем найти точные значения неизвестных после конечного числа арифметических операций, каждая из которых выполняется точною. Ко второй группе относятся все методы, которые не являются точными. Их называют приближёнными, или численными, или итерационными. Точное решение при использовании этих методов получается в результате бесконечного процесса приближений.

Рассмотрим некоторые приближённые методы решения систем нелинейных уравнений и алгоритмы их численной реализации на ПК. Будем предполагать, что решение этих систем должно быть получено с точностью до , где - очень маленькое положительное число.

 

Метод простой итерации.

 

Запишем систему нелинейных уравнений в виде

                                (1.1)

 

или коротко в виде , где .

Здесь функции, стоящие слева в (1.1) определены и непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой области D, которой принадлежит точное решение рассматриваемой системы уравнений. Точное решение системы (1.1) обозначим

                                   (1.2)

Для того, чтобы систему (1.1) решить методом простой итерации, во-первых, преобразуем её к виду

                          (1.3)

или, коротко к виду, , где .

Функции, стоящие справа в (1.3) обладают теми же свойствами, что и функции в (1.1).

Во-вторых, в области D выберем любую точку  и назовём её нулевым приближением к точному решению системы (1.3).

В-третьих, координаты точки  подставим в правую часть системы (1.3) и вычислим значения величин, стоящих слева в этой системе.

Будем иметь 

 

                               1.4)

или коротко

Величины , стоящие слева в формулах (1.4), будем считать координатами точки . Эту точку назовём первым приближением к точному решению исходной системы, т.е. к . Теперь мы имеем два приближённых решения системы (1.3). Этими решениями являются и .

В четвёртых, сравним эти два приближённых решения на :

                           (1.5)

или коротко

Если все неравенства (1.5) выполняются, то за приближённое решение исходной системы можно выбрать как , так и , поскольку эти два решения отличаются друг от друга не больше чем на .

На этом решение исходной системы методом простой итерации заканчивается. Если же хотя бы одно из неравенств (1.5) не выполняется, то надо компоненты первого приближения подставить в правую часть системы (1.3) и вычислить второе приближение . Здесь

                         (1.6)

или коротко

Далее надо сравнить приближения  и   на   по формуле (1.5). Строить приближения надо до тех пор, пока два соседних приближения  и  будут отличаться друг от друга не больше чем на .

Запишем рабочие формулы метода простой итерации для системы (1.3) в компактном виде.

Вычислить

    (1.7)

и построить приближения к решению системы (1.3)

 для всех  и   (1.8)

 

Сформулируем алгоритм вычислений по формулам (1.7) и (1.8).

1. Выберем , принадлежащую D.

2. В (1.7) положим , получим

3. По (1.8) построим .

4. Проверим условие (1.5) на :

5. Если все условия в п.4 выполнены, то заканчиваем вычисления, выбрав за приближённое решение исходной системы или всё равно, т.к. эти решения отличаются друг от друга не больше чем на . Если хотя бы одно из условий в п.4 не выполнилось, то переходим к п.6.

6. В (1.7) положим  и получим

7. По (1.8) построим .

8. Перейдём к п.4, при этом верхние индексы в условии (1.5) изменятся и станут на единицу больше.

 

Запишем этот алгоритм геометрически.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: