Система теодолитных ходов с узловыми точками

В некоторых случаях теодолитные ходы между пунктами опорной геодезической сети прокладываются в виде систем ходов с узловыми точками. Их уравнивание имеет свои особенности.

Например, теодолитные ходы, проложенные между опорными пунктами А, В   и С (рис. 3.6) с координатами Х_А, У_А; Х_В, У_В; Х_С,, У_С  и исходными дирекционными углами a₁, a₂, a₃, образуют узловую точку М с прилегающими к ней узловыми линиями.

 

Рис. 3.6. Схема системы теодолитных ходов с одной узловой точкой

 

По каждому ходу известна сумма измеренных углов å b_i. Уравнивание начинается с определения дирекционных углов выбранной, например, узловой линии MN по каждому из трех ходов:

a_MN1 =a₁ +å b₁ - 180°´ n₁;

a_MN2 =a₂ +å b₂ - 180°´ n₂;

a_MN3 =a₃ +å b₃ - 180°´ n₃,

где n₁- число измеренных левых по ходу углов в первом ходе; n₂ - число измеренных левых по ходу углов во втором ходе; n₃ - число измеренных правых по ходу углов в третьем ходе.

Разности вычисленных дирекционных углов (a_MN1 - a_MN2) и (a_MN2 - a_MN3) не должны превышать допустимых невязок

Затем вычисляется вероятнейшее значение дирекционного угла узловой линии MN по формуле

.

В качестве веса р_i принимают величины, обратные числу углов в ходах, т. е.

 р_i  = 1/ n_i.

Вычисления удобно выполнять в таблице, форма которой представлена в табл. 3.9.

 

Таблица 3.9

Таблица вычисления вероятнейшего значения дирекционного угла узловой линии

№ хода	a узловой линии	Число углов ni	Вес рi  = 1/ ni	Невязки ¦b, невязки ¦b доп
1 2 3	72°45, 3¢ 72°46, 7¢ 72°47, 1¢	4 3 2	0, 25 0, 33 0, 50	¦b1 = -1, 3¢; ¦b доп = ±2, 6¢ ¦b2 = +0, 1¢; ¦b доп  = ±2, 4¢ ¦b3 = +0, 5¢; ¦b доп  = ±2, 2¢
a MN= 72°46, 6¢			å р =1, 08

 

Угловые невязки для ходов вычисляют по формулам

¦_b1 = a_MN1 - a_MN; ¦_b2 = a_MN2 - a_MN; ¦_b3 = a_MN3 - a_MN.

Полученные невязки распределяют поровну в измеренные углы с обратным знаком и по исправленным углам вычисляют окончательные дирекционные углы всех линий каждого теодолитного хода.

Затем вычисляют приращения координат по каждому ходу и координаты узловой точки М:

Хmi = Х_А + å DХ_АМ; Ум₁ = Уа + å DУ_АМ;

Хm₂ = Х_В + å DХ_ВМ; Ум₂ = У_В + å DУ_ВМ;

Хm₃ = Х_С + å DХ_СМ; Ум₃ = У_С + å DУ_СМ.

Вероятнейшее значение координат узловой точки М может быть получено по формулам  

 

;

.

 

Здесь в качестве веса pi принимают величины, обратные длинам теодолитных ходов pi = 1 / Di. Вычисления можно представить в виде табл. 3.10.

 

Таблица 3.10

Таблица вычисления вероятнейших значений координат узловой точки

№ хода	Длины ходов Di, км	Вес pi = 1 / Di	Координаты		Невязки, м
			Х	У	¦Х	¦У
1 2 3	1, 57 0, 74 0, 89	0, 64 1, 35 1, 12	16293, 7 16293, 7 16294, 1	6397, 2 6398, 0 6397, 6	- 0, 1 - 0, 1 + 0, 3	- 0, 5 + 0, 3 - 0, 1
		å р = 3, 11	ХМ =16293, 8	УМ =6397, 7

 

После вычисления вероятнейших значений координат узловой точки М по каждому ходу вычисляют невязки ¦_Х и ¦_У в приращениях координат

¦_Х1 =Х_М1 - Х_М; ¦_У1 =У_М1 - У_М;

¦_Х2 =Х_М2 - Х_М; ¦_У2 =У_М2 - У_М;

¦_Х3 =Х_М3 - Х_М; ¦_У3 =У_М3 - У_М,

которые распределяют прямо пропорционально длинам линий. По исправленным значениям приращений координат вычисляют координаты всех точек теодолитных ходов. Контроль вычислений при этом такой же, как и при уравнивании одиночного теодолитного хода.

 

Геодезические засечки

В ряде случаев для сгущения съемочного обоснования координаты отдельных точек целесообразно определять способом геодезических засечек, таких, как прямая и обратная угловые, комбинированная засечки, а в случае использования электронных дальномеров - линейная. В некоторых случаях используется способ снесения координат с вершины знака на землю.

 

Прямая угловая засечка

Задача прямой угловой засечки состоит в определении координат третьей точки по координатам двух исходных пунктов (однократная засечка). Для контроля правильности вычисления координат определяемого пункта необходимо выполнить измерения еще с одного исходного пункта (многократная засечка). Однократная засечка позволяет произвести контроль вычислений координат определяемой точки, а многократная - контроль измерений. Возможны различные схемы и формулы решения задачи прямой угловой засечки.

1. Если между исходными пунктами имеется прямая видимость, то с них измеряются горизонтальные углы b_i между смежными направлениями на определяемую точку. Углы засечки должны быть не менее 30° и не более 150°. Схема засечки показана на рис. 3.7.

 

Рис. 3.7. Схема многократной прямой угловой засечки

 

При выполнении вычислительных работ необходимо оцифровать пункты и углы по следующему правилу: если вы находитесь на линии базиса АВ против определяемой точки Р, то левый исходный пункт будет первым с координатами X₁, У₁  и измеряемый при нем угол b₁, правый - вторым с координатами Х₂, У₂ и измеряемый при нем угол b₂, а определяемый пункт - третьим с координатами Х_Р, У_Р. В этом случае для вычисления координат определяемого пункта удобнее всего воспользоваться формулами котангенсов внутренних углов треугольника (формулами Юнга):

;

.

2. Если между исходными пунктами нет прямой видимости (рис. 3.8), то измеряются углы b₁  и b₂ соответственно на исходных пунктах А и В, а для контроля правильности определения координат пункта Р - угол b₃ на пункте С между направлениями на определяемую точку и направлениями на другие исходные пункты, на которые имеется видимость.

 

Рис. 3.8. Схема многократной прямой угловой засечки

 

В этом случае наиболее удобными для вычислений являются формулы Гаусса (тангенсов и котангенсов дирекционных углов), в которые входят дирекционные углы направлений с исходных пунктов на определяемый угол a_i. Два дирекционных угла a₁ и a₂ нужны для решения задачи, а третий - для контроля правильности определения пункта Р и повышения точности окончательных значений его координат. Формулы тангенсов дирекционных углов имеют следующий вид:

;

У_Р = (Х_Р - Х₁) ´ tga₁ + У₁;

У_Р  = (Х_Р - Х₂) ´ tga₂ + У₂.

 

Формулы котангенсов дирекционных углов выглядят так:

;

Х_Р = (У_Р - У₁) ´ сtga₁ + Х₁;

Х_Р = (У_Р - У₂) ´ сtga₂  + Х₂.

 

Пользуясь измеренными углами b₁  и b₂ с исходных пунктов на определяемую точку, вычисляют дирекционные углы a₁ и a₂, которые могут изменяться от 0° да 360°.

Формулами тангенсов нельзя пользоваться, если дирекционные углы a₁ и a₂ близки к 90° или 270° и находятся в пределах 90 ± 15°, 270 ± 15°, т.к. в этих пределах функция тангенса имеет значительные колебания при изменении углов на 1¢ и они тем больше, чем ближе к 90° или 270°.

Формулами котангенсов нельзя пользоваться, если дирекционные углы a₁ и a₂  близки к 0° или 180° и находятся в пределах 0 ± 15°, 180 ± 15°. Если какой-либо из дирекционных углов a_i находится в пределах 90 ± 15° или 270 ± 15°, то в этом случае пользуются формулами котангенсов дирекционных углов.

Если углы a_i находятся в пределах 0 ± 15°или 180 ± l5°, то координаты пункта вычисляют по формулам тангенсов дирекционных углов. Если один из дирекционных углов находится в пределах 90 ± 15° (или 270 ± 15°), а другой - в пределах 0 ± 15° (или 180 ± 15°), то формулами тангенсов и котангенсов дирекционных углов пользоваться нельзя. В этом случае пользуются формулами котангенсов внутренних углов треугольника (формулами Юнга).

Вычислительные работы выполняются в следующем порядке:

1. Путем решения обратных геодезических задач по координатам исходных пунктов находят дирекционные углы исходных направлений по форме, приведенной в табл. 3.6.

2. В соответствии со схемой засечки по измеренным горизонтальным углам b_i вычисляют дирекционные углы направлений на определяемую точку Р.

3. По формулам Гаусса или формулам Юнга вычисляют координаты определяемого пункта, пример формы вычисления приведен в табл. 3.11.

Таблица 3.11

Вычисление прямоугольных координат третьей точки по двум данным (по формулам тангенсов дирекционных углов)

Названия пунктов	Дирекционные углы	Абсциссы	Тангенсы	Ординаты
1 2 Исходных 3 Определяемого	a1 a2	ХА ХВ ХС	tgaАР tgaВР tgaАР - tgaВР	УА УВ УС
А (1) В (2) Р (3)	89°46, 4¢ 184°27, 5¢	20157, 62 23854, 41 20182, 82	252, 774179 0, 077970 252, 696209	53050, 18 59727, 17 59440, 84
В (1) С (2) Р (3)	184°27, 5¢ 316°03, 4¢	23854, 41 18891, 17 20182, 82	0, 077970 -0, 963779 1, 041749	59727, 17 60685, 70 59440, 84
Среднее		20182, 82		59440, 84

 

Для контроля используется вторая комбинация исходных пунктов и дирекционных углов. Расхождения между абсциссами и ординатами, полученными при первой (Х ¢ _Р, У ¢ _Р) и второй (Х" _Р, У" _Р) комбинациях, должны удовлетворять неравенству

где M_Р1, М_Р2  - средняя квадратическая ошибка положения пункта Р, определенного по двум исходным пунктам (А и В; В и С). Значения их определяют по формулам

;

,

где mb - средняя квадратическая ошибка измерения угла; g1, g2 - углы засечки при определяемом пункте; Si - длины линий засечки.

Если расхождения между координатами допустимы, то за окончательное значение принимают их среднее арифметическое.

 

Обратная угловая засечка

Задача обратной угловой засечки заключается в определении координат четвертого пункта по координатам трех исходных и двум углам, измеренным на определяемом пункте. Для контроля правильности решения задачи при определяемом пункте измеряют третий угол между направлениями на один из первых трех пунктов и на четвертый исходный пункт. Существует много способов решениям этой задачи. Рассмотрим вычисление координат пункта, определяемого обратной угловой засечкой по формуле Деламбра. Для этого составляется схема засечки (рис. 3.9) и таблица исходных данных.

 

Рис. 3.9. Схема однократной обратной угловой засечки

 

Порядок выполнения вычислений

1. Из трех направлений выбирают начальное, для которого по формуле Деламбра будет определен дирекционный угол. Пункт, с которого вычисляют дирекционный угол на определяемую точку Р, нумеруют первым. Далее пункты нумеруют до ходу часовой стрелки. Первый угол обозначается b, а сумма углов первого и второго - g.

2. Вычисляют дирекционный угол начального направления по формуле Деламбра:

,

результаты заносят в специальную таблицу (табл. 3.12).

Таблица 3.12

Вычисление дирекционного угла начального направлення по формуле Деламбра

Названия исходных пунктов	У2 У1 У3	b g сtgb ctgg	Х2 Х1 Х3	Разности координат
2 1 3				У2 - У1 = У1 - У3 = Х3 - Х2 =
Числитель Знаменатель		tg a¢ a¢ a		Х2 - Х1 = Х1 - Х3 = У2 - У3 =

 

3. Из вычислений получают не дирекционный угол, а румб (a¢ ). По знакам числителя и знаменателя формулы Деламбра устанавливают четверть и вычисляют значение дирекционного угла с первого исходного пункта на определяемую точку.

4. По измеренным углам вычисляются дирекционные углы всех остальных направлений.

5. Вычисляют координаты определяемого пункта по формуле Гаусса (тангенсов или котангенсов дирекционных углов), записав две комбинации, пример вычисления которых приведен в табл. 3.11.

Если определяемая точка Р лежит на окружности, проходящей через три исходных пункта А, В и С, то определить ее положение при помощи измеренных углов b и g нельзя, так как при этом в вычислениях появляется бесконечность и деление на ноль. Эту окружность называют «опасным кругом». Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи окружности, проходящей через три исходных пункта, поэтому при выборе положения определяемой точки Р нужно руководствоваться следующими правилами:

а) определяемая точка может лежать внутри треугольника, образованного исходными пунктами (рис. 3.10).

 

Рис. 3.10. Схема расположения определяемого пункта внутри треугольника

 

б) определяемая точка расположена вне треугольника, образованного исходными пунктами, напротив вершины между продолжениями двух сторон (рис. 3.11).

 

Рис. 3.11. Схема расположения определяемого пункта вне треугольника

 

Линейная засечка

При наличии электронных дальномеров координаты точек съемочной сети целесообразно определять путем измерения расстояний до определяемой точки Р от исходных пунктов с известными координатами А, В и С (рис. 3.12).

 

Рис. 3.12. Схема многократной линейной засечки

 

Для определения координат точки Р достаточно с исходных пунктов А и В измерить длины линий S₁ и S₂. Контроль измерений заключается в измерении длины линии S₃ с третьего исходного пункта. Нумерация пунктов и длин линий выполняется аналогично правилу, указанному при определении координат точки прямой угловой засечкой.

Порядок расчета

1. По известным координатам исходных пунктов (Х_А, У_А и Х_В, У_В) путем решения обратной геодезической задачи вычисляют расстояние S_АВ и дирекционный угол a_АВ.

2. Определяют направление с исходного пункта А на точку Р, используя формулу теоремы косинуса

a_АР = a_АВ - arccos [(S₁² - S₂² + S _АВ²) / 2 ´ S₁ ´ S _АВ].

3. По формулам прямой геодезической задачи вычисляют координаты определяемой точки Р от исходного пункта А:

Х_Р = Х_А + DХ_АР; У_Р = У_А + DУ_АР;

DХ_АР = S₁ ´ cosa_АР; DУ_АР = S₁ ´ sina_АР.

4. Для контроля вычислений, используя полученные координаты Х_Р, У_Р, вычисляют расстояние

и сравнивают его с измеренным значением S₂. Расхождение ç S_ВР - S₂  ç не должно превышать двух единиц последнего знака S₂.

5. Контроль измерений состоит в вычислении координат определяемой

точки Р¢ от исходного пункта С из второго треугольника.

 Аналогично решая задачу, повторно находят Х_Р', У_Р'.

Расхождение 

 не должно превышать 0, 15 мм на плане заданного масштаба съемки. За окончательные координаты точки Р принимают среднее арифметическое из полученных значений.

Пример вычислений приведен в табл. 3.13, где введено следующее обозначение:

b₁ = arccos [(S₁²- S₂² + S _АВ²) / 2 ´ S₁ ´ S _АВ].

Значение b₂ определяется аналогично из второго треугольника.

 

Таблица 3.13

Вычисление координат точки, определяемой линейной засечкой

Обозначения	Результаты	Обозначения	Результаты
S1 S2 SАВ	548, 16 747, 70 512, 91	ХА DХАР ХР	23130, 06 141, 97 23272, 03
aАВ b1 aАР	164°31, 8¢ 89°32, 5¢ 74°59, 3¢	УА DУАР УР	34382, 21 529, 46 34911, 67
S3 S2 SВС	569, 13 747, 70 697, 62	ХС DХСР ХР ¢	22782, 03 489, 98 23272, 01
aСВ b2 aСР	77°53, 7¢ 76°02, 9¢ 1°50, 8¢	УС DУСР УР¢	35201, 14 289, 47 34911, 67

 

Комбинированная засечка

Eсли с определяемой точки Р видны только три исходных пункта А, В и С, то два измеренных угла b₁ и b₂ при точке Р обеспечивают однократное определение его координат методом обратной угловой засечки (рис. 3.13).

 

Рис. 3.13. Схема комбинированной засечки

Для обеспечения контроля на одном из исходных пунктов, например А, измеряют третий угол b₃.

Порядок обработки вычислений

1. Вычисляют дирекционный угол направления АР a_АР = a_АР + b₃.

2. Используя измеренные углы b₁ и b₂, определяют дирекционные углы других направлений 

a_РВ = a_АР + b₁; a_РС = a_АР + (b₁ + b₂).

3. По координатам трех исходных пунктов и дирекционным углам на определяемую точку по формулам Гаусса (тангенсов или котангенсов дирекционных углов) и Юнга (котангенсов внутренних углов треугольника) трижды независимо можно определить координаты точки Р.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: