Массовая сила, напряжение, давление

Предисловие

Механика сплошной среды (МСС) – раздел физики, рассказывающий об условиях равновесия, движения и о свойствах деформируемых тел, жидкостей и газов.

В действительности всякое вещество не является сплошным: по современным представлениям оно состоит из атомов, отделенных друг от друга пустотами. Однако нас будут интересовать не микроскопические, а макроскопические характеристики вещества. Поэтому реальное вещество мы будем заменять воображаемой непрерывной, сплошной средой, заполняющей тот же объём, что и само вещество. Это даёт возможность мысленно разбивать воображаемое вещество на элементы, т.е. на бесконечно малые части. И пользоваться бесконечно малыми величинами, дифференциалами, применять дифференциальное и интегральное исчисления.

В а ж н о е п р и м е ч а н и е. Если при изучении материал кажется запутанным и вы не можете его понять, не идите дальше, а выполните следующие шаги.

1) Вернитесь до того места, где начались трудности.

2) Найдите непонятое слово или символ.

Часто непонятым оказывается простое слово, которое вы неверно понимали.

3) Узнайте, что оно означает.

Значение, смысл слова вы можете найти в толковом словаре.

Замешательство или неспособность усвоить или выучить материал возникает после того, как человек встретил слово, которому он не нашёл определения и которое он не понял.

Чтобы упростить прояснение слов, в конце пособия дан глоссарий. В нём приводятся те значения слов, в котором они используются в этом пособии. Если встретятся другие слова, которых вы не знаете, посмотрите их значение в каком-нибудь хорошем словаре.

Глава 1

ГИДРОСТАТИКА

Гидростатика – раздел МСС, рассказывающий об условиях равновесия жидкостей и газов под действием приложенных сил.

Уравнения гидростатики

Внутри покоящейся жидкости мысленно выделим бесконечно малый прямоугольный кусочек объёмом (рис. 1.6). Его масса где – плотность. На кусочек со стороны окружающей жидкости действуют сжимающие поверхностные силы давления, которые обозначим Пусть на него действует также массовая сила В соответствии с (1.1) общая массовая сила, действующая на массу равна Так как кусочек неподвижен, сумма всех сил равна нулю:

(а)

Введём систему координат как показано на рис. 1.6. Тогда

В проекциях на оси координат уравнение (а) запишется так:

Следовательно,

(б)

где – координаты вектора

Ввиду одинаковости вида этих выражений займёмся каким-нибудь одним из них, например, вторым:

(в)

Силы, действующие в направлении оси давят на левую и правую грани. Обозначим давление жидкости на левую грань. Площадь левой грани поэтому на неё действует сила Давление на правую грань может отличаться от поэтому обозначим его где добавка к (частный дифференциал, или приращение давления при смещении на расстояние На правую грань действует сила (рис. 1.6). Равенство (в) запишется так:

Рис. 1.6

Раскроем скобки и преобразуем левую часть. Будем иметь

(г)

Так как добавка определяется по формуле

то подстановка в (г) даст

Аналогичные равенства получаются при преобразовании первого и третьего выражений в (б). В итоге получим систему дифференциальных уравнений:

Уравнения гидростатики в скалярной форме

(1.2)

Эти уравнения можно записать в компактном виде. Умножим первое уравнение на вектор второе – на третье – на Сложим полученные равенства. Получится

Раскроем скобки и перегруппируем члены

Следовательно,

или

Уравнения гидростатики в векторной форме

Подробно о градиенте и набла-операторе сказано в Приложении.

З а д а ч а 1. Найти если

 Найдём частные производные

В точке М они равны:

Значит, градиент в точке М равен

Закон Архимеда

|Выталкивающая сила направлена вверх и равна весу жидкости |(газа) в объёме погруженной части тела.

Посмотрите на рис. 1.9. Нижняя часть тела находится в слоях с большим давлением, чем верхняя. Этим и объясняется существование выталкивающей (архимедовой) силы .

Заменим тело жидкостью. Пусть масса жидкости, замещающей тело, равна (рис. 1.10). Уровень жидкости при этом не изменяется, значит, на эту массу действует такая же выталкивающая сила, что и на тело.

Рис. 1.9 Рис. 1.10

Масса неподвижна, следовательно, действующая на неё архимедова сила уравновешена силой тяжести

Правая часть представляет собой вес жидкости:

Строгое доказательство формулы дано в Приложении 2.

Архимедова сила прилагается к точке – центру давления жидкости.

Пусть силы и не лежат на одной вертикали (рис. 1.11). В таком случае вращательный момент этих сил не будет равным нулю, и он заставит тело повернуться так, чтобы обе силы расположились на одной вертикали. Эти Рис. 1.11

силы отвечают за устойчивость морских и

речных судов.

Если вес тела меньше выталкивающей силы тело будет всплывать до тех пор, пока эти силы не сравняются. Поэтому выполнение равенства

есть условие плавания тела.

З а д а ч а 1. Резервуар, имеющий собственный вес высоту и квадратное основание со стороной заполнен бензином и погружён в воду (рис. 1.12). Определить давление р на дно резервуара и глубину погружения, если (Объёмом стенок резервуара пренебречь.)

 На дно резервуара давит столб бензина высотой поэтому

Резервуар с бензином плавает, поэтому выполняется условие (а)

Объём бензина объём подводной части (на рис. 1.12 этот объём ограничен пунктирной линией). Поэтому

Подстановка в (а) даёт

Отсюда

< Рис. 1.12

ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Гидродинамика – раздел МСС, в котором рассматриваются условия и закономерности движения жидкостей и газов под действием приложенных сил.

Скалярное и векторное поля

Время будем обозначать произвольную точку в пространстве –

Поле – функция от точки и времени.

Так как функция может быть скалярной либо векторной, то и поле бывает скалярным или векторным.

Обычно рассматривают физические поля, т.е. функции, являющиеся физическими величинами. Примеры физических полей:

– плотность это скалярное поле (поле плотностей, поле плотности);

– скорость это векторное поле (поле скоростей, поле скорости).

Поле, не меняющееся во времени, называют стационарным или установившимся.

В этом случае вместо пишем а вместо пишем

В пространстве введём систему координат Произвольная точка будет иметь координаты поэтому вместо и можно писать и

Подробно о полях сказано в Приложении, п. 1.

П р и м е ч а н и е. Каждый вектор в пространстве можно спроецировать на оси координат и получить три координаты. Если их обозначить то вектор можно написать либо в полной форме в виде суммы:

либо в краткой:

Линии тока и траектории

Линия тока – воображаемая линия, идущая вдоль векторов поля скоростей (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Итак, векторы касаются линий тока. Как найти уравнение какой-нибудь линии тока?

В пространстве введём систему координат Тогда скорость будет задаваться тремя координатами т. е. На линии тока выделим бесконечно малый кусочек и получим вектор (рис. 2.2). Так как векторы и лежат на одной прямой, их координаты пропорциональны:

Уравнения линии тока

Переменные величины являются координатами переменной точки М, бегущей по этой линии.

В нестационарном поле векторы могут менять свои направления. Вместе с ними и линии тока с течением времени могут менять свою форму. Значит, линии тока – это воображаемые линии, соответствующие фиксированному моменту времени, их мгновенная фотография. По линиям тока двигались бы частицы, если бы их скорости оставались такими же, как в этот фиксированный момент времени.

Если поле скоростей стационарно, то линии тока не меняются и совпадают с траекториями движущихся частиц.

Траектория – это линия, по которой движется частица.

Траектория определяется системой уравнений

З а д а ч а 1. Дано поле скоростей жидкости Найти линии тока и траектории движущихся частиц.

 Имеем: – координаты скорости.

1) Линии тока задаются двумя дифференциальными уравнениями:

Решаем первое уравнение: Так как время фиксировано, то интегрированием получим

Решаем второе уравнение: Подставим найденное значение Отделим переменные, и проинтегрируем обе части. Получим

Итак, линии тока описываются системой уравнений

(а)

Найдём линию тока, которая в момент проходит через точку Подставив данные значения в (а), получим Значит,

Рис. 2.3 Рис. 2.4

Наличие переменной говорит о том, что с течением времени эта линия изменяет свою форму и положение в пространстве. Так, в момент времени линия тока задаётся системой

а в момент эта линия превратится в линию

Графики этих линий показаны на рис. 2.3 и 2.4.

2) Траектории частиц задаются тремя дифференциальными уравнениями:

где точки над буквами обозначают производные по времени. Например,

Первое уравнение (оно линейное) имеет решение Решение третьего уравнения Подставим эти значения во второе уравнение. Получим Его интегрирование даст Значит,

(б)

Мы нашли уравнения траекторий.

Покажем, что эти траектории не совпадают с линиями тока (а). Из третьего уравнения системы (б) имеем Подставим в остальные равенства:

Обозначив получим

Видим, что эта система уравнений отличается от (а). <

Расход жидкости

Расход – это объём жидкости, протекающей сквозь воображаемую проницаемую поверхность за единицу времени.

В пространство, где течёт жидкость или газ со скоростью поместим воображаемую неподвижную бесконечно малую площадку проницаемую для жидкости. На рис. 2.5 показан случай, когда вектор площадки располагается под произвольным углом к вектору скорости

Расход жидкости через площадку будет равен

(2.1)

Теперь в пространство, где течёт жидкость или газ, поместим произвольную поверхность Мысленно разобьём на бесконечно малые части. Расход сквозь каждую часть определяется по формуле (2.1). Сложив (проинтегрировав) эти расходы, получим расход через всю Рис. 2.5

Расход жидкости (газа) через поверхность

(2.2)

Если сечение перпендикулярно скорости течения: (при этом и скорость во всех точках одинакова, то из (2.2) будем иметь

(2.3)

Обыкновенно этой формулой пользуются при вычислении расхода жидкости или газа через поперечное сечение трубопровода.

Умножим объём (2.1) на плотность Получим массу жидкости, протекающей сквозь за единицу времени

(2.4)

Проинтегрировав (2.4) по поверхности получим массу жидкости, протекающей сквозь за единицу времени (массовый расход):

Если поверхность замкнута, то по теореме о дивергенции (П.4.2) это равенство равносильно такому:

(2.5)

– масса жидкости, вытекающей из области за единицу времени.

Пусть область мала; обозначим её Тогда из (2.5) получим

(2.6)

– масса жидкости, вытекающей из области за единицу времени.

З а д а ч а 1. Дано поле скоростей текущей жидкости

а) Найти расход через боковую поверхность конуса ограниченного заданными поверхностями:

(а)

б) Найти расход через всю поверхность конуса.

 Начертим конус (рис. 2.6). Равенство есть уравнение горизонтальной плоскости. Равенство есть уравнение конической поверхности.

а) Уравнение конической поверхности запишем так:

Находим нормальный вектор

Рис. 2.6

После сокращения на +2 будем иметь

При этом вектор укорачивается, но направление не меняется. Его модуль

Единичный вектор, нормальный к боковой поверхности конуса, равен

Находим скалярное произведение:

Подставим в формулу расхода (2.2):

На поверхности конуса выполняется равенство Подставим это значение:

где круг, проекция боковой поверхности конуса на плоскость Из системы уравнений (а) получим или окружность радиуса

Для вычисления интеграла перейдём к полярной системе координат Тогда и

Ввиду того, что

остаётся

Отрицательность расхода означает, что жидкость в основном втекает через боковую поверхность конуса.

б) Вся поверхность конуса является замкнутой поверхностью, внутри которой находится весь конус поэтому можно воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса. Но сначала найдём дивергенцию вектора скорости:

По формуле расхода (2.2) имеем

Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение вдоль оси При стационарном течении скорость со временем не меняется, поэтому Уравнение Эйлера (2.8) примет вид

(а)

В поле силы тяжести Спроецируем на ось наклонённую под углом к вертикали (рис. 2.5). Получим Подставим в (а):

(б)

На рис. 2.5 видим, что когда координата растёт высота уменьшается поэтому Подставим в (б):

Рис. 2.5

(2.9)

У несжимаемой жидкости В этом случае равенство (2.9) запишется так:

Умножив все члены на получим

Уравнение Бернулли для несжимаемой и невязкой жидкости

(2.10)

З а д а ч а 1. В наклонном трубопроводе течёт вода (рис. 2.6). В сечениях с диаметрами м и м производится замер давлений. Разница давлений оказалась равной м ртутного столба. Определить расход воды, если кг/м³, кг/м³.

 В обоих сечениях расход одинаков:

Составим уравнение Бернулли для этих сечений:

где и – статические давления в обоих сечениях, и – высоты до обоих сечений, отсчитанные от общего горизонтального уровня (рис. 2.6).

Составим условие равенства давлений

Решим систему уравнений:

Из первых двух уравнений имеем:

(а)

Из четвёртого уравнения подставим в третье:

Подставим значения и из (а): Рис. 2.6

Отсюда

Скорость ударной волны

Гидравлический удар – резкое увеличение давления в трубопроводе при внезапной остановке движения в жидкости.

Гидравлический удар возникает при быстром закрытии задвижки, крана, при внезапной остановке насоса. Особенно опасен гидроудар в длинном трубопроводе, в котором движется большая масса жидкости с большой скоростью.

Представим себе горизонтальную трубу постоянного сечения в которой жидкость или газ, имеющий плотность и давление движется влево со средней скоростью (рис. 2.7).

Рис. 2.7

В момент времени быстро закроем задвижку. Передний, первый слой жидкости, столкнувшись с задвижкой, отразится вправо. Однако на него набежит второй слой, увеличит в нём давление и отразится. На второй слой набежит третий, увеличит давление и отразится. И т.д.

Таким образом, граница участка повышенного давления и повышенной плотности будет перемещаться в правую сторону, против течения жидкости, с некоторой скоростью, называемой скоростью распространения волны давления ( или ударной волны).

Обозначим через скорость распространения волны давления в неподвижной жидкости. За время волна давления должна была бы пройти вправо путь (рис. 2.6). Однако за это время набегающее течение снесёт волну давления назад на расстояние Поэтому в действительности волна давления пройдёт путь

Объём этого участка масса До момента (до столкновения с задвижкой) эта масса имела скорость а значит импульс

Через время эта масса стала неподвижной поэтому её импульс стал равен нулю. Следовательно, за время произошло изменение импульса, равное (а)

С другой стороны, за время давление на задвижку возросло на поэтому сила на задвижку возросла на Значит, за время произошло изменение импульса силы, равное (б)

Так как величины (а) и (б) равны, то

или (в)

На участке трубы длиной располагается сжатая масса Если бы масса не была сжата, она имела бы первоначальную плотность и занимала бы участок длины т.е. было бы Значит, или (г)

Равенства (в), (г) образуют систему уравнений

из которой находим (д)

Раскрыв скобки во втором уравнении системы, будем иметь

Обычно т.е. скорость движения частиц пренебрежимо мала по сравнению со скоростью распространения ударной волны. Поэтому Подстановка в (д) даёт

Формула вычисления скорости ударной волны, а также скорости звука в жидкости или газе

(2.11)

Скорость звука в газе

Зависимость плотности от давления ярко проявляется у газов: при увеличении давления на газ его плотность увеличивается. Кроме того, газ при сжатии нагревается. Теплопроводность у газа мала, поэтому тепло не успевает уходить из нагретых областей. Это значит, что для газа сжатие является адиабатным процессом (т.е. без передачи тепла). Адиабатный процесс для идеального газа описывается уравнением

(а)

в котором константа называется показателем адиабаты,

При сжатии масса не меняется. Пусть – масса газа и его объём. Тогда Подставив в (а), получим или

(2.12)

где Получили связь между и

Из (2.12) находим

(2.13)

Из (2.12) следует

(2.14)

Подставим в (2.13):

Отсюда Подставив в (2.11), будем иметь

(2.15)

Получилась формула определения скорости звука в газе.

И сжимаемой жидкости

Воспользуемся равенством (2.9), в котором не использовалось условие несжимаемости. Подставим (2.13) в (2.9). Получим

(а)

Пусть при выполняются условия: (б)

Подставим их в (а):

Вычтем это выражение из (а):

Отсюда

(в)

Найдём чтобы сюда вставить. Из (2.14) и (2.15) имеем Отсюда Подставим в (в):

(г)

Заметим, что величина очень мала (т.к. близко к нулю, а скорость звука велика). Кроме того, скорость течения обычно мала по сравнению с перепад высот невелик. Поэтому в фигурных скобках второй член мал и выражение (г) допускает следующее приближение:

В частности, для горизонтального канала (когда будем иметь

Глава 3

ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Понятие о вязкости

Реальная жидкость и газ имеют вязкость.

Вязкость – это сила трения между слоями текущей жидкости.

Именно из-за вязкости текущая жидкость, предоставленная самой себе (т.е. когда убраны причины, вызвавшие движение), останавливается.

Рассмотрим два опыта, в которых проявляется внутреннее трение (вязкость).

О п ы т 1. В вертикальную трубку с краном внизу нальём воду, а на неё сверху осторожно дольём коричневое растительное масло (рис. 3.1). В состоянии равновесия граница раздела будет горизонтальной (пунктирная линия).

Откроем кран так, чтобы течение было очень медленным. Вскоре граница раздела примет форму параболоида вращения. Слой жидкости, прилегающий к стенке трубки, неподвижен. Скорость течения остальных слоёв увеличивается по мере приближения к оси трубки.

О п ы т 2. Поместим в жидкость две параллельные пластины одинаковой площади расстояние между которыми причём (рис. 3.2).

Будем перемещать вправо верхнюю пластину Рис. 3.1

со скоростью Убеждаемся, что для перемеще-

ния пластины с постоянной скоростью, к ней нужно приложить определённую постоянную силу Раз пластина движется не ускоренно, значит, на неё действует нулевая суммарная сила. Следовательно, внешнюю силу которую мы прикладываем, уравновешивает противоположно направленная сила трения жидкости о пластину. Обозначим её

Выполняя этот опыт при различных (как это делал Ньютон), можно убедиться, что

Рис. 3.2

Значит,

(3.1)

Коэффициент называется динамической вязкостью; он зависит от типа жидкости и её состояния (например, от температуры). Опыт показывает, что при нагревании вязкость жидкости уменьшается, а газов – растёт.

Относительно верхней пластины нижняя пластина движется с той же скоростью но в обратную сторону, влево. Значит, на нижнюю пластину действует сила

Формула (3.1) определяет не только силу трения, действующую на пластину, но и силу трения между соприкасающимися слоями жидкости.

Для слоёв, находящихся на расстоянии скорости отличаются на Поэтому формулу (3.1) можно записать так:

(3.2)

Уравнение неразрывности

В пространстве с движущейся жидкостью поместим воображаемую неподвижную замкнутую поверхность проницаемую для частиц жидкости (рис. 3.10). Область пространства, оказавшуюся внутри обозначим через Итак, – неподвижная область в пространстве, сквозь которую движутся частицы жидкости.

Пусть в момент времени в области имеется масса жидкости

За время эта масса увеличится на

(а)

где (б)

Поделив (а) на получим массу Рис. 3.10

притекающую в область за единицу времени: (в)

С другой стороны, масса жидкости, вытекающей из области за единицу времени, определяется по формуле (2.6). Значит, величины (2.6) и (в) одинаковы, но противоположны по знаку:

отсюда

(г)

Из (б) найдём полную производную по времени:

Однако наша область неподвижна, координаты её точек не зависят от времени: Поэтому Подставив в (г), получим окончательно

Уравнение неразрывности

(3.9)

Из этого закона можно получить известную формулу вычисления расхода

(3.10)

для невязкой и несжимаемой жидкости, текущей в трубопроводе.

Вывод равенства (3.10) с помощью (3.9) дан в Приложении.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Скалярное и векторное поля

Пусть – произвольная точка пространства, произвольный момент времени. Введём обозначения:

плотность частицы жидкости или газа в точке в момент времени

скорость частицы жидкости или газа в точке в момент времени

Эти обозначения говорят, что плотность и скорость – функции от точки пространства и времени. Кроме плотности и скорости существуют другие переменные величины, также зависящие от положения точки и момента времени

Поле – функция от точки и времени.

Так как функция может быть скалярной либо векторной, то и поле бывает скалярным или векторным.

Значит, плотность скалярное поле (скалярная функция, скаляр), а скорость векторное поле (векторная функция, вектор).

Поле, не меняющееся во времени, называют стационарным или установившимся.

В этом случае для плотности вместо пишем а для скорости вместо пишем

Введём систему координат Произвольная точка будет иметь координаты поэтому вместо и можно писать и

Далее символом будем обозначать произвольную скалярную функцию (скалярное поле, скаляр), а символом – произвольную векторную функцию (векторное поле, вектор).

Три координаты вектора в пространстве будем обозначать (три функции от В этом случае или в краткой записи

В декартовых координатах

В декартовой системе координат градиент, дивергенция и ротор определяются по формулам

(П.5.1)

(П.5.2)

(П.5.3)

где

скаляр (скалярная функция, скалярное поле),

вектор (векторная функция, векторное поле) (

– функции от

¨ В П.3 мы выяснили, что формулы (П.3.1)-(П.3.3) не зависят от формы замкнутой поверхности ограничивающей фигуру Поэтому ради удобства возьмём фигуру – бесконечно малый параллелепипед со сторонами Его объём Направим координатные оси вдоль рёбер (рис. 5.1).

Докажем формулу (П.5.1).

(П.3.1)

=|Поверхность состоит из шести граней|=

=|На грани (ЛИРУЛ) имеем внеш-

ний вектор на противополож- Рис. 5.1

ной грани (АСОКА) будет и т.д.|=

=|Грань (ЛИРУЛ) мала, поэтому в пределах этой грани функция не успевает измениться. Значит, на ней Аналогично, на грани (АСОКА) будет И т.д.|=

=|Площадь грани (ЛИРУЛ) равна и равна площади грани (АСОКА). И т.д.|=

=|При перемещении от точки А к Л изменяется лишь координата поэтому

И т.д.|=

Полученное равенство даёт нам формулу (П.5.1).

Остальные две формулы можно вывести таким же путём, но мы поступим иначе. Выпишем полученные равенства

(а)

Заметим, что в (а) вектор заменяется в правой части на векторы

Посмотрим на определение дивергенции:

В отличие от выражения (а) здесь присутствует вектор вместо скаляра Поэтому в (а) заменим на и обычное умножение заменим на скалярное, обозначаемое точкой. Будем иметь

отсюда

Но аналогично, поэтому

Получилась формула (П.5.2). Наконец, посмотрим на определение ротора:

В отличие от выражения (а) здесь присутствует вектор (вместо ) и векторное умножение (вместо обычного). Поэтому (а) преобразуется так:

отсюда

Оператор Гамильтона

Введём специальный символ

(6.1)

называемый оператором Гамильтона, или оператором набла [2] .

Оператор преобразует, переводит величину в другую величину, Он обладает свойствами и вектора, и производной. Применение оператора к какой-либо величине назовём «умножением» оператора на эту величину.

1. «Умножение» на числовую функцию даст градиент этой функции:

                                                        (6.2)

¨ ■

2. Скалярное «умножение» на векторную функцию даст её дивергенцию:

                                               (6.3)

¨ ■

3. Векторное «умножение» на векторную функцию даст её ротор:

                                          (6.4)

¨ ■

Циркуляция векторного поля

Вообразим, что в векторном поле имеется замкнутая линия

Циркуляцией Ц векторного поля по контуру называется величина

Циркуляция – это работа силы , совершаемая при движении вдоль

Пусть бесконечно малая площадка ограничена замкнутой линией Циркуляцию вдоль обозначим

Величина называется плотностью циркуляции (циркуляция на единицу площади) вокруг элементарной площадки .

Формула Стокса

Теорема. Если поверхность натянута на контур то

(П.9.1)

¨ Мысленно разобьём на кусочки и пронумеруем их. Получим кусочки ограниченные контурами ориентированными против часовой стрелки. У каждого кусочка ( номер кусочка, ) имеется вектор площадки где – единичный вектор, нормальный к и согласованный с ориентацией контура (рис. 9.1).

Так как циркуляция аддитивна, то левая часть формулы (П.9.1) запишем так:

Правую часть формулы (П.9.1) запишем так:

Поэтому если докажем, что

(а)

то формула (П.9.1) будет доказана.

Рис. 9.1 Рис. 9.2

Построим цилиндр с основанием и высотой параллельной (рис. 9.2). Обозначим поверхность этого цилиндра. Его объём равен поэтому Преобразуем левую часть формулы (а):

(П.1.5)

Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Поэтому интеграл разбивается на сумму трёх интегралов:

Следовательно,

(б)

Здесь – площадь элемента боковой поверхности В качестве возьмём лежащий на прямоугольник площадью (рис. 8.2), в котором – длина вектора лежащего на линии и ориентированного по этой линии. Тогда

Вектор перпендикулярен обоим векторам и (рис. 8.2), поэтому направлен вдоль единичного вектора Значит,

В итоге равенство (б) запишется так:

Получилась формула (а), и вместе с ней формула Стокса[3]. ■

Парадокс гидростатики

В механике сплошной среды существует множество парадоксов. Рассмотрим один из них.

Два лёгких конических сосуда одинаковой ёмкости и высоты наполним водой (рис. 13.1). При их взвешивании весы покажут одинаковый результат где масса воды в каждом сосуде.

В сосудах высота жидкости одинакова, поэтому на дно каждого сосуда действует одинаковое давление (без учёта атмосферного давления). Поэтому на дно сосуда а действует сила на дно сосуда б действует сила Так как то

Рис. 13.1

Следовательно, весы, казалось бы, должны показывать разный результат.

Противоречие разрешается просто: весы измеряют действующую на них суммарную вертикальную силу. Так, если сложить все силы, действующие на боковую стенку сосуда а, получим суммарную силу направленную вниз (рис. 13.2). Она добавится к силе также направленной вниз.

Рис. 13.2

А на боковые стенки сосуда б действует суммарная сила направленная вверх. Она уменьшит силу направленную вниз. В итоге в обоих случаях суммарная вертикальная сила оказывается одинаковой, и весы покажут один и тот же вес.

Глоссарий

Механика – раздел физики, излагающий о равновесии, движении тел, о взаимодействиях между ними.

Сила – величина (или степень) воздействия на тело. Обозначается обычно

Механика сплошной среды (МСС) – раздел физики, излагающий о равновесии, движении и свойствах деформируемых тел, жидкостей и газов.

Сплошной – не имеющий промежутков, перерывов.

Вектор площадки – вектор, перпендикулярный площадке и длиной, равной площади площадки. Обозначается обычно или

Нормаль – то же, что перпендикуляр. Нормальный = перпендикулярный.

Перпендикуляр – прямая линия, образующая угол с другой прямой или плоскостью.

Массовая сила – сила, приходящаяся на единицу массы вещества и независимая от присутствия других частей вещества.

Если обозначить массовую силу то или

Единица массы ( единичная масса ) – масса, равная единице (1 кг в СИ).

Единица времени – время, равное единице (1 секунда в СИ).

Единица площади ( единичная площадь ) – площадь, равная единице (1 в СИ).

Например, квадрат со сторонами единица есть единица площади.

Поверхностная (или контактная ) сила – сила, действующая на поверхность в результате контакта.

Напряжение – поверхностная сила, приходящаяся на единицу площади.

Если обозначить напряжение то или

Давление – поверхностная сила, действующая по перпендикуляру на единицу площади.

Газ – вещество, между движущимися молекулами которого действуют силы отталкивания.

Идеальный газ – воображаемый газ, движущиеся молекулы которого взаимодействуют между собой только при столкновениях, подобно бильярдным шарам.

Жидкость – вещество, молекулы которого притягиваются друг к другу, но которое ещё способно течь.

Свободная поверхность жидкости – граница жидкости, соприкасающаяся с газом или с другой жидкостью.

Математический аппарат – математические правила, методы, приёмы.

Исчисление – правила символьных преобразований.

Оглавление

Предисловие……………………………………………………………………………………1

Глава 1. Гидростатика …………………………………………………………………2

1.1. Силы, напряжения, давление…………………………………………………….2

1.2. Уравнения гидростатики…………………………………………........................4

1.3. Жидкость в поле силы тяжести…………………………………………………...7

1.4. Закон Архимеда……………………………………………………………………...9

1.5. Жидкость в неинерциальной системе отсчёта………………………………..11

Глава 2. Динамика невязкой жидкости ………………………………………..15

2.1. Скалярное и векторное поля……………………………………………………..15

2.2. Векторные линии векторного поля……………………………………………..15

2.3. Расход жидкости……………………………………………………………………18

2.4. Расход при стационарном течении……………………………………………..19

2.5. Одномерное течение. Уравнение Эйлера……………………………………..20

2.6. Уравнение Бернулли………………………………………………………………21

2.7. Скорость ударной волны………………………………………………………….22

2.8. Скорость звука в газе………………………………………………………………23

2.9. Решение уравнения Эйлера для газа и сжимаемой жидкости…………...24

Глава 3. Динамика вязкой жидкости ……………………………………………26

3.1. Понятие о вязкости…………………………………………………………………26

3.2. Течение жидкости в круглой трубе……………………………………………..27

3.3. Ламинарное и турбулентное течения………………………………………….30

3.4. Тело в потоке вязкой жидкости………………………………………………….31

3.5. Уравнение неразрывности………………………………………………………..34

3.6. Фильтрация жидкости в скважину……………………………………………..35

3.7. Закон парности касательных напряжений………………….........................37

Приложение…………………………………………………………………………………..38

1. Скалярное и векторное поля……………………………………….....................38

2. Вектор площадки. Поток векторной величины……………………………….39

3. Инвариантные определения градиента, дивергенции, ротора…………….41

4. Теорема о градиенте, дивергенции, роторе…………………………………….42

5. Градиент, дивергенция и ротор в декартовых координатах………………..42

6. Оператор Гамильтона………………………………………………………………45

7. Циркуляция векторной величины……………………………………………….45

8. Формула Стокса……………………………………………………………………...46

9. Смысл градиента, дивергенции, ротора………………………………………...48

10. Закон Архимеда как следствие теоремы о градиенте………......................48

11. Расход невязкой несжимаемой жидкости как следствие уравнения неразрывности………………………………………………………………………….49

12. Парадокс гидростатики………………………………………............................50

13. Измерение атмосферного давления…………………………………………….51

Глоссарий……………………………………………………………………………………...53

[1] Дюпюи Жюль (1804-1866) – французский инженер, механик, экономист.

[2] Гамильтон Уильям Роуан (1805-1865) – ирландский математик, механик и астроном.

Набла (греч.) – арфа, щипковый музыкальный инструмент треугольного вида.

[3] Стокс Джордж Габриель (1819-1903) – английский физик и математик.

Предисловие

1) Вернитесь до того места, где начались трудности.

2) Найдите непонятое слово или символ.

Часто непонятым оказывается простое слово, которое вы неверно понимали.

3) Узнайте, что оно означает.

Значение, смысл слова вы можете найти в толковом словаре.

Глава 1

ГИДРОСТАТИКА

Массовая сила, напряжение, давление

Различают силы массовые и поверхностные.

1. Массовая сила – сила, приходящаяся на единицу массы тела и независимая от присутствия других частей тела.

Примеры массовых сил:

- ускорение силы тяжести;

- сила инерции, приходящаяся на единицу массы.

Массовую силу будем обозначать Значит, если на массу m действует сила то массовая сила будет равна

Эта формула справедлива, когда сила распределена равномерно внутри всей массы (т.е. на кусочки одинаковой массы действуют одинаковые силы). В этом случае

Если же сила внутри тела распределена неравномерно, массу m можно мысленно разбить на элементы dm (бесконечно малые массы). Силу, действующую на dm, обозначим Тогда

(1.1)

Массовая сила имеет размерность ускорения:

В поле силы тяжести на массу m действует сила поэтому массовая сила равна

Силу как и можно назвать общей массовой силой.

2. Поверхностная сила – сила, действующая на поверхность в результате контакта.

Её можно назвать контактной силой. Если убрать контакт, исчезнет и эта сила.

1) Книга лежит на столе. Сила, с которой книга действует на стол благодаря своей тяжести – поверхностная сила.

2) Поместим в жидкость какое-нибудь тело. Сила, оказываемая жидкостью на поверхность, с которой она соприкасается – поверхностная сила.

Поверхностная сила распределена, рассредоточена по поверхности тела. Это значит, что на каждый элемент поверхности действует какая-то своя сила (рис. 1.1). Сложив эти силы, получим суммарную поверхностную силу (рис. 1.2).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

На рис. 1.2 вы видите, что сила разлагается на две компоненты

где – перпендикулярная (нормальная), или давящая на компонента силы а – касательная, или сдвигающая компонента.

Сила, приходящаяся на единицу площади, называется напряжением (рис. 1.3).

Напряжение обозначим Значит, если на площадь действует сила то напряжение будет равно

Величина Рис. 1.3

(1.2)

называется давлением (или нормальным напряжением ).

Словами эту формулу можно высказать так:

давление – это сила, действующая в направлении перпендикуляра (в направлении нормали) на единицу площади.

Из (1.2) следует

(1.3)

Величина

называется напряжением сдвига ( касательным напряжением ).

| Если тело покоится в покоящейся жидкости, то сдвигающее на|пряжение равно нулю.

¨ Если бы было то существовала бы сдвигающая сила заставляющая тело двигаться. Но тело покоится, значит ■

Следовательно, в покоящейся жидкости на любую площадку действует только нормальное к площадке напряжение.

|На любую частицу покоящейся жидкости со всех сторон действует |одинаковое давление (рис. 1.4).

¨ Вокруг частицы мысленно опишем бесконечно малый объём в виде треугольной призмы с размерами dx, dy, dz (рис. 1.5). Тогда (а)

а гипотенуза треугольной грани равна

Окружающая жидкость оказывает давление на ле- Рис. 1.4

вую грань, площадь которой В соответствии с фор-

мулой (1.3), на левую грань действует сила направленная параллельно оси На нижнюю грань действует сила На наклонную грань действует сила Её проекция на ось равна а на ось

Этот объём жидкости неподвижен. Значит, действующие на него силы Рис. 1.5

уравновешены:

– вдоль оси имеем

После сокращения на получим систему уравнений

(б)

Поделим первое уравнение на второе. Будем иметь

или

Подставив (а), получим или (в)

Теперь возведём первое и второе уравнения системы (б) во вторую степень и сложим. Получим

Подстановка сюда (в) даст Итак, Эти равенства не содержат и, значит, не зависят от угла Следовательно, давление на любую грань одинаково и не зависит от угла наклона грани. ■

Из-за независимости давления от его направления, в покоящейся жидкости давление является скалярной величиной:

В системе СИ величина давления, равная , называется Паскалем:

В качестве единицы давления используются также:

· техническая атмосфера

· физическая атмосфера

З а д а ч а 1. В комнату входит женщина весом 550 Н, обутая в туфли на высоком каблуке. Площадь одного каблука 0.5 см². Когда женщина идёт, её вес попеременно падает то на один каблук, то на другой. Какое давление при этом приходится на пол?

 Дано: Поэтому

П р и м е ч а н и е. Если сила распределена по неравномерно, то нужно разбить на элементы (бесконечно малые участки). Силу, действующую на обозначим Тогда