Жидкость в неинерциальной системе отсчёта

Рассмотрим две задачи.

1. Сосуд с жидкостью плотности  движется поступательно с постоянным горизонтальным ускорением  (на рис. 1.13 влево). Найти уравнение свободной поверхности жидкости.

Свободной называется поверхность жидкости, граничащая с газом (например, с воздухом) или с вакуумом.

Введём систему координат  связанную с сосудом (рис. 1.13). Относительно этой системы жидкость неподвижна, поэтому можно ис­пользовать уравнения гидростатики (1.2). Определим, какая линия получится при пересечении плоскости  со свободной по­ верхностью жидкости.

В задаче участвуют две пере­менные     поэтому  в  систе­ме уравнений (1.2) оставим два уравнения.

На каждый элемент жидко­сти действует сила тяжести  и сила инерции  так как  (на рис. 1.13 видим, что  и  направлены противопо­ложно). Суммарная сила равна           

                 Рис. 1.13

Находим массовую силу

 т.е.

Подстановка в уравнения (1.2) даёт систему уравне­ний

Решаем первое уравнение:

(а)

Подставим  во второе уравне­ние системы.                                         

                                                  

Значение  подставим в (а):

                                                                            (б)

В точке О, т.е. при  давление равно  

Подстановка в (б) даёт

Полученное значение  подставим в (б):

 На свободной поверхности ,  тогда

– уравнение свободной поверхности.

2. Цилиндрический сосуд вместе с жидкостью плотности  равно­мерно вращаются с угловой скоростью  вокруг вертикальной оси цилиндра. Найти уравнение свободной поверхности жидкости.

Опыт показывает, что при вращении жидкость будет прижи­маться к стенке сосуда за счёт силы инерции (рис. 1.14).

Направим ось  вдоль оси вращения вниз. Введём систему координат  свя­занную с сосудом. Мысленно рассмотрим произвольную частицу жидкости массы  От оси  к этой частице проведём вектор  перпендикулярный  Частица движется с центростремительным ускоре­нием  направленным к оси враще­ния  (рис. 1.14). Значит, на неё действует сила инерции

        

На частицу действует также сила тяжести  Поэтому суммарная сила, действующая на частицу,  равна                                               Рис. 1.14

Находим массовую силу:

т.е.

Относительно системы координат  жидкость неподвижна, по­этому можно использовать уравнения гидростатики (1.2):

                                (а)

Решение системы даёт следующий результат: свободной поверхностью жидкости является параболоид вращения:

 Выведем это равенство. Решим первое уравнение системы (а):

                                                 (б)

Чтобы найти  подставим (б) во второе уравнение системы (а). Получим

Это уравнение имеет такой же вид, как и первое уравнение системы. Поэтому его решение подобно (б):  Подставим это значение в (б):

                               (в)

Чтобы найти  подставим (в) в третье уравнение системы. Будем иметь

Подставим значение  в (в):

                (г)

Чтобы найти  воспользуемся начальным условием: в точке О:  т.е.  Подставив эти значения в (в), получим  Подставим это значение в (г):

                         (д)

Применим это равенство к свободной поверхности жидкости. На всей свободной поверхности давление одинаково и равно  Подста­вим это значение в (д):

отсюда

 ■

Глава 2

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: