ТЕОРЕМА О ГРАДИЕНТЕ, ДИВЕРГЕНЦИИ, РОТОРЕ

Теорема. Если область  ограничена поверхностью  то

                                 (П.4.1)

                                  (П.4.2)

                                  (П.4.3)

Формально эти равенства получаются сразу из определений (П.3.1)-(П.3.3). Равенство (П.4.2) называется формулой Остроградского-Гаусса.

Строгое доказательство этих формул опирается на тот факт, что поверхностные интегралы в правых частях изменяют свой знак при изменении ориентации поверхности.

Градиент, дивергенция и ротор

В декартовых координатах

 

В декартовой системе координат градиент, дивергенция и ротор определяются по формулам

(П.5.1)                             (П.5.2)                             (П.5.3)

где скаляр (скалярная функция, скалярное поле), вектор (векторная функция, векторное поле) (  – функции от ).

 

¨ В П.3 мы выяснили, что формулы (П.3.1)-(П.3.3) не зависят от формы замкнутой поверхности  ограничивающей фигуру  Поэтому ради удобства возьмём фигуру  – бесконечно малый параллелепипед со сторонами  Его объём  Направим координатные оси вдоль рёбер (рис. 5.1).

Докажем формулу (П.5.1).

(П.3.1)

=|Поверхность  состоит из шести граней|=

=|На грани  (ЛИРУЛ)  имеем внеш-      

ний  вектор  на противополож-                        Рис. 5.1

ной грани (АСОКА) будет  и т.д.|=

 

=|Грань (ЛИРУЛ) мала, поэтому в пределах этой грани функция  не успевает измениться. Значит, на ней  Аналогично, на грани (АСОКА) будет  И т.д.|=

=|Площадь грани (ЛИРУЛ) равна  и равна площади грани (АСОКА). И т.д.|=

=|При перемещении от точки А к Л изменяется лишь координата  поэтому

 И т.д.|=

Полученное равенство  даёт нам формулу (П.5.1).

Остальные две формулы можно вывести таким же путём, но мы поступим иначе. Выпишем полученные равенства

                               (а)

Заметим, что в (а) вектор  заменяется в правой части на векторы

Посмотрим на определение дивергенции:

В отличие от выражения (а) здесь присутствует вектор  вместо скаляра  Поэтому в (а)  заменим  на  и обычное умножение заменим на скалярное, обозначаемое точкой. Будем иметь

отсюда

Но  аналогично,  поэтому

Получилась формула (П.5.2). Наконец, посмотрим на определение ротора:

В отличие от выражения (а) здесь присутствует вектор  (вместо ) и векторное умножение (вместо обычного). Поэтому (а) преобразуется так:

отсюда

  

 

 

Оператор Гамильтона

 

Введём специальный символ

                                       (6.1)

называемый оператором Гамильтона, или оператором набла [2] .

Оператор  преобразует, переводит величину в другую величину, Он обладает свойствами и вектора, и производной. Применение оператора  к какой-либо величине назовём «умножением» оператора  на эту величину.

1. «Умножение»  на числовую функцию  даст градиент этой функции:

                                                        (6.2)

¨  ■

2. Скалярное «умножение»  на векторную функцию  даст её дивергенцию:

                                               (6.3)

¨  ■

3. Векторное «умножение»  на векторную функцию  даст её ротор:

 

                                          (6.4)

 

¨  ■

 

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: