Тело в потоке вязкой жидкости

 

В реальной, вязкой жидкости результирующая сила, действую­щая на тело, не равна нулю, т.е. поток всегда действует на тело с некоторой силой. Если ось симметрии тела направлена вдоль потока, то сила, с которой поток действует на тело, называется силой лобового сопротивления.

Рассмотрим обтекание потоком шара радиуса  Зависимость силы  лобового сопротивления от числа Рейнольдса показана на рис. 3.8.

При малых скоростях течения, когда  сила пропорциональна скорости,  Это происходит потому, что из-за наличия тонкого пограничного слоя на шар действуют силы вязкости. Толщина пограничного слоя оценивается по формуле

 

 

Рис. 3.8

Например, в конце линейного участка, где  толщина  – в 10 раз меньше радиуса шара. Вне этого слоя жидкость течёт так же, как и невязкая, симметрично обтекая шар спереди и сзади.

При малых числах Рейнольдса сила лобового сопротивления, действующая на шар, рассчитывается по формуле Стокса:

Вязкость жидкости можно определить, наблюдая движение в ней тел. Так, при падении шара в жидкости, его скорость подчиняется уравнению движения

В начале падения шар набирает скорость, затем устанавливается постоянная скорость и движение становится равномерным. В этом случае  поэтому

                                                                                 (а)

Но  Подставив в (а), получим  отсюда

Определив в эксперименте равномерную скорость  по этой формуле рассчитываем вязкость.

При больших скоростях потока, когда  симметрия обтекания относительно вертикальной оси (на рис. 3.9 – пунктирная линия) нарушается – позади шара происходит отрыв линий тока и образуется завихрённое пространство. Симметрии давления в точках  и  уже нет.

По формуле Бернулли имеем

В точке  поток останавливается,  поэтому

Рис. 3.9

В точке  давление равно  Поэтому результирующее давление на шар в направлении потока будет пропорционально  а сила пропорциональна  где  – площадь сечения шара, перпендикулярного потоку. Следовательно, сила лобового сопротивления равна

где коэффициент лобового сопротивления.

 

Уравнение неразрывности

 

В пространстве с движущейся жид­костью поместим воображаемую непод­вижную замкнутую поверхность  проницаемую для частиц жидкости (рис. 3.10). Область пространства, ока­завшуюся внутри  обозначим через  Итак,  – неподвижная об­ласть  в простран­стве, сквозь которую движутся час­тицы жидкости.

Пусть в момент времени  в области  имеется масса жидкости      

За время  эта масса увеличится на

(а)

где                     (б)

Поделив (а) на  получим массу             Рис. 3.10

притекающую в область  за единицу времени:                                                                   (в)

С другой стороны, масса жидкости,  вытекающей из области  за единицу времени, определяется по формуле (2.6). Значит, величины (2.6) и (в) одинаковы, но противоположны по знаку:

отсюда

                                                                                (г)

Из (б) найдём полную производную по времени:

Однако наша область  неподвижна, координаты  её точек не зависят от времени:  Поэтому  Подста­вив в (г), получим окончательно

 

Уравнение неразрывности

 

(3.9)

Из этого закона можно получить известную формулу вычисления расхода

                              (3.10)

для невязкой и несжимаемой жидкости, текущей в трубопроводе.

Вывод равенства (3.10) с помощью (3.9) дан в Приложении.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: