Решение уравнения Эйлера для газа

И сжимаемой жидкости

 

Воспользуемся равенством (2.9), в котором не использовалось условие несжимаемости. Подставим (2.13) в (2.9). Получим

                                                                    (а)

Пусть при  выполняются условия:     (б)

Подставим их в (а):

Вычтем это выражение из (а):

Отсюда

                                          (в)

Найдём  чтобы сюда вставить. Из (2.14) и (2.15) имеем  Отсюда  Подставим в (в):

                                        (г)

Заметим, что величина  очень мала (т.к.  близко к нулю, а скорость звука  велика). Кроме того, скорость течения обычно мала по сравнению с  перепад высот  невелик. Поэтому в фигурных скобках второй член мал и выражение (г) допускает следующее приближение:

В частности, для горизонтального канала (когда  будем иметь

Глава 3

ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

 

Понятие о вязкости

 

Реальная жидкость и газ имеют вязкость.

Вязкость – это сила трения между слоями текущей жидкости.

Именно из-за вязкости текущая жидкость, предоставленная самой себе (т.е. когда убраны причины, вызвавшие движение), останавливается.

Рассмотрим два опыта, в которых проявляется внутреннее трение (вязкость).

О п ы т  1.  В вертикальную трубку с краном внизу нальём  воду,  а на неё  сверху осторожно дольём  коричневое растительное масло (рис. 3.1). В состоянии равновесия  граница раздела будет го­ризонтальной (пунктирная линия).

Откроем кран так, чтобы течение было очень медленным. Вскоре граница раздела примет форму параболоида вращения. Слой жидкости, прилегаю­щий к стенке трубки, неподвижен. Ско­рость течения остальных слоёв увеличивается по мере приближения к оси трубки.                   

О п ы т  2.  Поместим  в  жидкость  две парал­лельные пластины одинаковой площади  рас­стояние между которыми  причём  (рис. 3.2).

Будем перемещать  вправо верхнюю пластину      Рис. 3.1

со  скоростью    Убе­ждаемся, что для перемеще-

ния пластины с постоянной скоро­стью, к ней нужно приложить определённую постоянную силу  Раз пластина движется не ускоренно, значит, на неё действует ну­левая суммарная сила. Следовательно, внешнюю силу  которую мы прикладываем, уравновешивает противоположно направленная сила трения жидкости о пластину. Обозначим её

Выполняя этот опыт при различных  (как это делал Нью­тон), можно убедиться, что

Рис. 3.2

Значит,

                                       (3.1)

Коэффициент  называется динамической вязкостью; он зависит от типа жидкости и её состояния (например, от температуры). Опыт показывает, что при нагревании вязкость жидкости уменьшается, а газов – растёт.

Относительно верхней пластины нижняя пластина движется с той же скоростью  но в обратную сторону, влево. Значит, на нижнюю пластину действует сила

Формула (3.1) определяет не только силу трения, действующую на пластину, но и силу трения между соприкасающимися слоями жид­кости.

Для слоёв, находящихся на расстоянии  скорости отличаются на  Поэтому формулу (3.1) можно записать так:

                                   (3.2)

 

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: