Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

Функция F (х) называется первообразной функцией для данной функции f (х) ( первообразной данной функции f (х)) на данном промежутке, если на этом промежутке
F’(x)=f(x)

Теорема 1. Если и — две первообразные для функции f (х) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Неопределенным интегралом от функции f (х) называется совокупность(множество) всех первообразных данной функции.

Выражение F (х) + С, где F (х) — первообразная функции f (х) и С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом ,
причем f (х) называется подынтегральной функцией.

Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна на [a; b], то на этом отрезке для функции f (х) существует первообразная.

 

Свойства первообразной функции.

· 1) · Если функция F ( x ) - первообразная для функции f ( x ) на интервале X, то функция f ( x ) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f ( x ) на этом интервале. (Док-во: ).

· 2) · Если функция F ( x ) - некоторая первообразная для функции f ( x ) на интервале X =( a, b ), то любая другая первообразная F 1( x ) может быть представлена в виде F 1( x ) = F ( x ) + C, где C - постоянная на X функция.
Док-во. Так как функции F ( x ) и F 1( x ) - первообразные для f ( x ), то

3) Для любой первообразной

F ( x ) выполняется равенство dF ( x ) = f ( x ) dx.
Из этих свойств следует, что если F ( x ) - некоторая первообразная функции f ( x ) на интервале X, то всё множество первообразных функции f ( x ) (т.е. функций, имеющих производную f ( x ) и дифференциал f ( x ) dx ) на этом интервале описывается выражением F ( x ) + C, где C - произвольная постоянная.

 

 

Свойства неопределенного интеграла.

1.
Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2.
Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа.
Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4.
Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

 

 

Таблица неопределенных интегралов(с выводом).

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

 

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а < b). Для этого отрезок [а; b] точками а = х₀, х₁, ..., b = х_n (х₀ < x₁ < ... < х_n) разобьем на n частичных отрезков [х₀; x₁], [x₁; x₂],..., [x_n-1; x_n]. Сила, действующая на отрезке [x_i-1; x_i], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δ хi = х_i-x_i-1 достаточно мала, то сила F на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = c_i  [x_i-1; x_i]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [x_i-1; x_i], равна произведению F(c_i)•Δ х_i(Как работа постоянной силы F(c_i) на участке [x_i-1; x_i].)

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; b] есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δ х_i Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:

Итак, работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

масса m неоднородного стержня на отрезке [a, b] равна определенному интегралу от плотности  (х):

 

 

Доказательство

Пусть .Тогда, по определению: —разбиения: как только, где - разбиение ; =max — ранг разбиения; ; — набор промежуточных точек, .

Выберем ( так как — любое положительное) и обозначиминтегральную сумму через . Тогда.

Предположим, что не ограничена на , и зафиксируемразбиение этого отрезка. В силу неограниченности функции на всём отрезке она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков . Пусть для определённости это будет . Теперь фиксируем промежуточные точки, начиная с (т.е. ).Таким образом зафиксированная сумма будет иметь вполне определённое значение. Получим:

, где A — некоторое число.

Разделим полученное неравенство на

А это означает, что — ограничена на , что противоречит предположению. Следовательно, функция ограничена на .

 

 

Суммы Дарбу и их свойства.

Определение

- верхняя сумма Дарбу

- нижняя сумма Дарбу

Свойство 1.

Для любой выборки и разбиения справедливы неравенства: .

Свойство 2.

При T — фиксированном, справедливы равенства:

Свойство 3.

Если разбиение - продолжение разбиения , то , то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Свойство 4.

Для любых разбиений и справедливо неравенство .

 

Теорема о среднем.

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], тогда .

1.По свойству функции, непрерывной на отрезке, , такие что .

2. По свойству определённого интеграла , следовательно

 

 

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

 

 

Вычисление объемов.

Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c< d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

 

 

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

Функция F (х) называется первообразной функцией для данной функции f (х) ( первообразной данной функции f (х)) на данном промежутке, если на этом промежутке
F’(x)=f(x)

Теорема 1. Если и — две первообразные для функции f (х) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Неопределенным интегралом от функции f (х) называется совокупность(множество) всех первообразных данной функции.

Выражение F (х) + С, где F (х) — первообразная функции f (х) и С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом ,
причем f (х) называется подынтегральной функцией.

Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна на [a; b], то на этом отрезке для функции f (х) существует первообразная.

 

12345Следующая ⇒

Поделиться: