Приближенное вычисление определенных интегралов.

Суть метода прямоугольников.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл .

Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками . Внутри каждого отрезка выберем точку . Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения , то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла .

формула метода трапеций:

Понятие квадрируемости плоской фигуры.

Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью . При этом число называется площадью фигуры Q.

Теорема 1. Для того чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε можно было указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, разность S_d - S_i площадей которых была бы меньше ε , S_d - S_i < ε .

 

 

Вычисление определенных интегралов от четных и нечетных функций.

Метод решения определенного интеграла от четной функции
по симметричному относительно нуля отрезку

Рассмотрим определенный интеграл вида . Легко заметить, что отрезок интегрирования симметричен относительно нуля.

Если функция подынтегральная является чётной, то интеграл можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить: .

Метод решения определенного интеграла от нечетной функции
по симметричному относительно нуля отрезку

Рассмотрим тот же определенный интеграл с симметричным относительно нуля отрезком интегрирования: .
Если подынтегральная функция является нечётной, то .

 

 

Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах.

Площадь правильной области в полярных координатах находится так:

 

 

 

Вычисление объемов.

Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c< d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

 

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: