Необходимое условие интегрируемости.

Теорема (необходимое условие интегрируемости)

Если функция — интегрируема на , то она ограничена на .

Доказательство

Пусть .Тогда, по определению: —разбиения: как только, где - разбиение ; =max — ранг разбиения; ; — набор промежуточных точек, .

Выберем ( так как — любое положительное) и обозначиминтегральную сумму через . Тогда.

Предположим, что не ограничена на , и зафиксируемразбиение этого отрезка. В силу неограниченности функции на всём отрезке она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков . Пусть для определённости это будет . Теперь фиксируем промежуточные точки, начиная с (т.е. ).Таким образом зафиксированная сумма будет иметь вполне определённое значение. Получим:

, где A — некоторое число.

Разделим полученное неравенство на

А это означает, что — ограничена на , что противоречит предположению. Следовательно, функция ограничена на .

 

 

Суммы Дарбу и их свойства.

Определение

- верхняя сумма Дарбу

- нижняя сумма Дарбу

Свойство 1.

Для любой выборки и разбиения справедливы неравенства: .

Свойство 2.

При T — фиксированном, справедливы равенства:

Свойство 3.

Если разбиение - продолжение разбиения , то , то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Свойство 4.

Для любых разбиений и справедливо неравенство .

 

Интегрируемость непрерывной функции.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. По теореме Кантора функция равномерно непрерывна на . Это означает, что для любого найдется такое ,
что для любых точек , таких, что , справедливо
неравенство . Отсюда следует, что для любого разбиения
, диаметр которого , справедливо неравенство
, .
Поэтому

,
если только . Таким образом, выполнено условие критерия интегрируемости в терминах колебаний и тем самым теорема доказана.

 

Свойства определенного интеграла.

1. Для функции y = f(x), определенной при x = a, справедливо равенство .

2. Для интегрируемой на отрезке [a; b] функции выполняется .

3. для интегрируемых на отрезке [a; b]функций y = f(x) и y = g(x).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть, для интегрируемой на отрезке [a; b] функции y = f(x) и произвольного числа k справедливо равенство .

5. Пусть функция y = f(x) интегрируема на интервале X, причем и , тогда .

6. Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b] и для любого значения аргумента , то .

 

 

Теорема о среднем.

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], тогда .

1.По свойству функции, непрерывной на отрезке, , такие что .

2. По свойству определённого интеграла , следовательно

 

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: