Тригонометрические подстановки.

 Универсальная тригонометрическая подстановка. Переход в подынтегральной функции к переменной преобразует R(sin x, cos x) в функцию, рационально зависящую от t.Выразим sin x, cos x, dx через t: (делим на

) ; (делим на ) .

 

В результате все компоненты подынтегральной функции выражаются через функции, рационально зависящие от t.

 

Понятие определенного интеграла, его физический и геометрический смысл.

Определение:

Определенным интегралом от функции на называется предел интегральной суммы, построенной для функции на при неограниченном увеличении числа разбиений отрезка на части и при стягивание каждого участка разбиения в точку, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точки на каждой из этих частей.

Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ (х) ≥ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ (х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Для этого отрезок [а; b] точками а=х₀, х₁, ..., b=х_n (х₀< x₁<...< x_n) paзобьем на n частичных отрезков [х_о; х₁], [х₁; х₂],..., [х_n-1; х_n]. (см. рис. 168). В каждом частичном отрезке [x_i-1; x_i] (i=1, 2,..., n) возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней, т. е. ƒ (c_i).

Умножим значением функции ƒ (c_i) на длину ∆ x_i=x_i-x_i-1соответствующего частичного отрезка. Произведение ƒ (c_i) • ∆ x_i равно площади прямоугольника с основанием ∆ x_i и высотой ƒ (c_i). Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин Δ х_i точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max∆ x_i → 0:

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а < b). Для этого отрезок [а; b] точками а = х₀, х₁, ..., b = х_n (х₀ < x₁ < ... < х_n) разобьем на n частичных отрезков [х₀; x₁], [x₁; x₂],..., [x_n-1; x_n]. Сила, действующая на отрезке [x_i-1; x_i], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δ хi = х_i-x_i-1 достаточно мала, то сила F на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = c_i  [x_i-1; x_i]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [x_i-1; x_i], равна произведению F(c_i)•Δ х_i(Как работа постоянной силы F(c_i) на участке [x_i-1; x_i].)

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; b] есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δ х_i Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:

Итак, работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

масса m неоднородного стержня на отрезке [a, b] равна определенному интегралу от плотности  (х):

 

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: