Понятие частной производной. Связь между дифференцируемостью функции и существованием частных производных.

частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции в точке определяется следующим образом:

Теорема 7 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке .

Теорема: Пусть функция f(x, y) в точке (x₀, y₀ ) имеет непрерывные частные производные по (x, y), тогда она дифференцируема в данной точке.

 

43)Определение дифференциала функции n переменных, приложение дифференциала в приближенных вычислениях.

Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х; у). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где а = а(Δ х, Δ у)→ 0 и β =β (Δ х, Δ у)→ 0 при Δ х→ 0, Δ у→ 0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.

 

 

44)Геометрический смысл частной производной функции двух переменных. У равнение касательной плоскости

Пусть имеется поверхность, заданная уравнением . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .
Прямая, проведенная через точку поверхности , перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности.

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке записывается в виде:
,
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде:
.

 

 

45)Производная сложной функции двух и трех переменных. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δ х, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆ _хz. Итак,

Δ _хz=ƒ (х+Δ х; у)-ƒ (х; у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:

Δ _уz=ƒ (x; у+Δ у)-ƒ (х; у).

Полное приращение Δ z функции z определяется равенством

Δ z = ƒ (х + Δ х; у + Δ у)- ƒ (х; у).

Если существует предел

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х; у) по переменной х и обозначается одним из символов:

 Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ (х; у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: