Связь графика функции с ее свойствами.

Б.С. Семенов

Аннотация.

Предлагаемое пособие содержит минимальный объем теоретических сведений и разобранных примеров, достаточный для решения задач В8. Основное внимание уделяется графической интерпретации производной, поскольку графические представления необходимы для решения большей части задач. Рассмотрено решение задач с параметром, которые введены в состав В8.

Определение функции.

Пусть задана числовая величина х, которая по условиям задачи может принимать некоторые числовые значения. Задана числовая величина у, и правило ее вычисления для каждого значения х. Если по этому правилу для каждого значения х можно вычислить единственное значение , то y называется функцией от х.

х называется аргументом функции у . Для функции используются обозначения:

у = f(x) или у(х).

Пример1.

Задана числовая величина х.

Задана числовая величина y, вычисляемая по формуле

Все условия задания функции выполняются. Последняя формула позволяет для любого х вычислить единственное значение у. Возможны обозначения

Если обозначение

применено при отсутствии формулы для вычисления функции, то подразумевается, что y является функцией от х, а конкретный способ вычисления у по х пока не задан.

Обозначения аргумента и функции могут быть иными буквами, чем х и у. В некоторых задачах В8 используется обозначение аргумента t, а функции – х( t ).

2. Обзор функций, используемых в заданиях В8

В заданиях В8 по состоянию на 01.01.2011 используются функции, правая часть которых является многочленом степени не выше четвертой.

Примеры многочленов.

1) ; многочлен 4-й степени.

2) ; многочлен 3-й степени.

3) ; многочлен 2-й степени.

4) ; многочлен 1-й степени.

Ниже (рис.1) приведены графики многочленов 2, 3, 4 порядков.

Рис. 1. Примеры графиков многочленов.

Графики многочленов выглядят как непрерывные линии. При неограниченном увеличении/уменьшении аргумента функция обязательно будет неограниченно возрастать или убывать.

Исключение составляет функция , где С – постоянная величина.

Например, если функция от х задана как при любых х, то речь идет о многочлене нулевой степени . График такой функции – прямая линия, параллельная оси х, во всех точках которой .

Пример 2.

Вариант №27488

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале .

Это – пример ограничения области определения в условиях задачи.

Область значений.

Для каждого значения х из области определения можно вычислить y. Множество значений y, получаемых при всех значениях х из области определения, называется областью значений функции.

Функция	Область значений
	.	или
		или	( )
		или
		или	( )

Все примеры в таблице относятся к случаю отсутствия дополнительных ограничений на область определения.

При дополнительных ограничениях на область определения возникают дополнительные ограничения на область значений.

Пример 3.

Найти область значений функции (рис.2) на интервале (-6; 8).

Рис.2. График к примеру 3.

Очевидно, что при приближении х к у увеличивается до 5. Но, поскольку точка не принадлежит области определения функции, то наибольшего значения этой функции не существует. Наименьшее значение равно примерно при . Область значений или .

Ответ: [-3, 2; 5).

Экстремумы

Экстремумы – максимумы и минимумы функции.

График функции вблизи (слева и права) от точки – непрерывная линия.

Максимум – значение , обладающее следующим свойством:

можно найти такой достаточно малый интервал оси X, содержащий внутри точку что значения в крайних точках интервала меньше, чем .

Минимум – значение , обладающее следующим свойством:

можно найти такой достаточно малый интервал оси X, содержащий внутри точку что значения в крайних точках интервала больше, чем .

На следующем чертеже (рис. 3) и – максимумы, а – минимум.

Рис. 3. Максимумы и минимум функции.

Пример 4.

1.Функция (рис.4.) задана на интервале [-9; 0]. Оценить наибольшее и наименьшее значение функции. Определить при каких значениях аргумента они достигается.

Решение. Наибольшее значение достигается в точке максимума , а наименьшее – в точке минимума

Ответ: Наибольшее значение , наименьшее значение

2.Функция (рис.4.) задана на интервале [-11; 0]. Оценить наибольшее значение функции. Определить при каком значении аргумента оно достигается.

Решение. Наибольшее значение достигается в точке .

Ответ: (-11; 5).

3.Функция (рис.4.) задана на интервале (-11; 0, 9). Оценить наибольшее и наименьшее значение функции. Определить при каких значениях аргумента они достигается.

Решение. Наибольшее и наименьшее значения функции отсутствуют. Поясним на примере наибольшего значения. Если бы точка принадлежала области определения, то было наибольшим значением. Но не входит в область определения, а все точки оси абсцисс, как угодно близкие к , расположенные справа от нее, входят. Поэтому функция может принимать значения как угодно близкие к 5, но меньшие, чем 5. Наибольшего среди них не существует.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значения не существуют.

Рис. 4. График функции к примеру 4.

Нули функции

График многочлена нечетной степени пересекает ось Х хотя бы один раз. График многочлена четной степени может пересекать или не пересекать ось Х. Наибольшее количество пересечений зависит от сочетания коэффициентов при разных степенях х.

Нулем функции называется значение х в точке пересечения графика с осью абсцисс.

Нули можно вычислить как корни уравнения .

Многочлен степени n не может иметь более n корней.

На рис.6. Показан график многочлена 5 степени с максимально возможным количеством нулей. Нули вычислены как корни уравнения

Рис.5 Нули и экстремумы многочлена пятой степени.

4. Задача графического определения производной. Возрастание, убывание функции. Признаки экстремумов

Пример 5.

На графике рис.8 показан график функции. Требуется определить значение производной в точке

Рис 7. Условие примера 5.

Решение. Пример осложнен тем, что точка пересечения касательной с осью ОХ на рисунке отсутствует. Произведем дополнительное построение. Сначала продолжим прямую АС до пересечения с осью ОХ в точке А’. Построим прямую АВ II ОХ. Из точек В и В’ построим перпендикуляры к оси ОХ. Получатся подобные прямоугольные треугольники А’В’С’, и АВС. Угловой коэффициент может быть с равным успехом вычислен как отношения ВС/АВ или В’С’/ А’В’. Отсюда вывод: если на чертеже отсутствует точка пересечения касательной с осью ОХ, угловой коэффициент может быть вычислен с использованием произвольного треугольника, образованного отрезком касательной и отрезками параллельными осям ОХ и О Y.

. Рис 8. Дополнительное построение к рис. 8. Оценка углового коэффициента при недоступности точки пересечения касательной с осью абсцисс.

На рис 9 производная в точке x ₀ вычисляемая как отношение ВС/АВ, равна 0, 25.

Ответ: 0, 25.

Графическое вычисление производной часто можно упростить.

Рассмотрим график рис.10. Построим касательную в точке, например, и доведем ее до пересечения с осью Х.

От точки пересечения отложим вдоль оси Х отрезок единичной длины АВ (А< В) и восставим перпендикуляр из точки В до пересечения с касательной в точке С. Длина отрезка BC равна угловому коэффициенту касательной в точке

ВС/АВ= ВС/1= ВС

Проделаем такое же построение для касательной в точке . Получим отрезок В₁С₁, длина которого равна угловому коэффициенту касательной в точке .

Рис 9. Упрощенный метод графической оценки углового коэффициента касательной.

Если на чертеже затруднительно построить точку пересечения касательной с осью Х , то можно определить угловой коэффициент, построив на касательной как на гипотенузе прямоугольный треугольник, выбрав длину катета, параллельного оси OX, равной единице (рис.10). Тогда угловой коэффициент будет равен длине другого катета.

Рис 10. Метод графического определения производной с использованием единичного отрезка, параллельного оси ОХ. Производная в точке х= -0, 05 равна 0, 71.

В задачах В8 графики построены так, что производная определяется как отношение двух целых чисел. Однако в практических задачах треугольник с единичным катетом бывает полезен.

Пример 7.

Получить формулу для вычисления производной многочлена из примера 6.

Ответ:

Рис. 12. Сравнение графического и расчетного метода определения производной.

5, 1584-0, 4464=4, 712.

На рис 12. представлен график рассмотренной функции из примера 6 и график касательной в точке x = 1, 2. Сравним значения производной, определенной графически и вычисленной по формуле из примера 7.

При использовании графического способа нахождения производной учтем, что угол между касательной и положительным направлением оси Х лежит в пределах . Поэтому производная, определенная графически, будет положительна. Модуль производной определим как длину катета ВС треугольника АВС, катет ВА которого равен единице. Она также приблизительно равна 4, 712. Результат расчета производной по формуле примерно совпадает с ее графической оценкой.

Решение задач с параметром.

В качестве подготовительного рассмотрим следующий пример.

Пример 8.

Прототип задания B8 (№ 27486)

Прямая

является касательной к графику функции

. Найдите абсциссу точки касания. Решение. Из уравнения касательной следует, что производная в точке касания равна

. Найдем производную функции и абсциссу точки, в которой производная равна

Решим уравнение

Это квадратное уравнение имеет 2 решения . Проверим принадлежность этих решений графику касательной. Для этого подставим сначала первый корень в выражение для функции и найдем ординату искомой точки

Проверим, принадлежит ли точка (-1; -7) графику касательной

В точке (-1; -7) данная прямая является касательной к графику данной функции. Абсцисса точка касания (-1). Графики к задаче приведены на рис. 11.

Стоит ли проверить . В этой точке производная тоже равна - 4.

Проверим, принадлежит ли точка (-11/3; -4) прямой .

- лишний корень.

Ответ: -1

Рис. 14. График функции и касательная с четырьмя точками касания.

Рис. 15. Графики к задаче № 27486.

Пример 9. Прототип задания B8 (№ 119972) Прямая

является касательной к графику функции

. Найдите a. Решение. Рассмотрим две функции

Общие точки графиков этих функций определяются из условия

Это уравнение преобразуется к квадратному

Касание, т.е. единственная общая точка будет, если D=0

Ответ: 0, 125

Пример 10.

Прототип задания B8 (№ 119973)

Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Задача сводится к исследованию уравнения

Это уравнение преобразуется к квадратному

Используя формулу сокращенного умножения, получим

Уравнение имеет два корня -33 и 23.

Решением задачи является

Ответ: 23

7. Дополнительные примеры.

Пример 11.

Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Рис. 16. График к примеру 11.

Производная для уравнения прямой равна 7 при любом х. Касательная должна быть параллельна прямой. (рис 16). Угловой коэффициент прямой должен быть равен угловому коэффициенту касательной Это значит, что угловой коэффициент касательной должен быть равен 7.

y ' = 2 x + 6

2 x + 6 = 7

x =0, 5

Поскольку точка касания принадлежит графику функции, абсцисса определяется из уравнения функции.

Ответ: - 4, 75

Пример 12.

Дан график функции. Построить приблизительный график призводной.

1. Находим точки экстремумов функции и на графике производной отложим нули на графике производной..

2. На каждом участке оси ОХ между парой экстремумов обозначим точки в которых функция меняется наиболее быстро. В этих точках отметим максимумы и минимумы производной. Оценив угловые коэффициенты графическим способом, отметим экстремумы производной по оси ОY.

3. Учтем, что при неограниченном уменьшении/увеличении аргумента производная неограниченно возрастает или убывает. Построим «хвосты» график производной при неограниченном увеличении и уменьшении х.

4. Соединим полученные точки плавной кривой, получим график производной.

Результат построения показан на рис 17.

Рис 17. Графики к примеру 12.

Пример 13.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Рис 18. График к примеру 13.

В точке х= -3 производная равна 0. Слева от этой точки производная положительна, т.е. функция возрастает. При х > - 3 производная отрицательна. Функция убывает. Значит при х=-3 функция имеет максимум.

Ответ: 3

Пример 14.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Рис 19. График к примеру 14.

Прямая y =-2 x -11 имеет угловой коэффициент -2. График производной – это график углового коэффициента. Найдем количество пересечений уровня -2. Это и будет количество точек, в которых производная равна -2. Этих точек 5.

Ответ: 5.

Пример 15.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Скорость - производная от закона движения

При t = 9

Ответ: 60.