Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшее и наименьшее значение функции на графике – это наибольшее и наименьшее значения y. Для многочленов четной степени одно из этих значений существует всегда при отсутствии ограничений на область определения (рис.1). Многочлены 2-й и 4-й степени имеют наибольшее или наименьшее значение, совпадающее с максимумом или минимумом функции. Многочлен 3-й степени не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Если в задаче функция задана на части числовой оси, возможны наибольшие и наименьшие значения для многочленов любых степеней. 

Пример 4.

1.Функция (рис.4.) задана на интервале [-9; 0]. Оценить наибольшее и наименьшее значение функции. Определить при каких значениях аргумента они достигается.

Решение. Наибольшее значение достигается в точке максимума , а наименьшее – в точке минимума

Ответ: Наибольшее значение , наименьшее значение

2.Функция (рис.4.) задана на интервале [-11; 0]. Оценить наибольшее значение функции. Определить при каком значении аргумента оно достигается.

Решение. Наибольшее значение достигается в точке .

Ответ: (-11; 5).

3.Функция (рис.4.) задана на интервале (-11; 0, 9). Оценить наибольшее и наименьшее значение функции. Определить при каких значениях аргумента они достигается.

Решение. Наибольшее и наименьшее значения функции отсутствуют. Поясним на примере наибольшего значения. Если бы точка  принадлежала области определения, то   было наибольшим значением. Но  не входит в область определения, а все точки оси абсцисс, как угодно близкие к , расположенные справа от нее, входят. Поэтому функция может принимать значения как угодно близкие к 5, но меньшие, чем 5. Наибольшего среди них не существует.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значения не существуют.

 

Рис. 4. График функции к примеру 4.

 

 

Нули функции

График многочлена нечетной степени пересекает ось Х хотя бы один раз. График многочлена четной степени может пересекать или не пересекать ось Х. Наибольшее количество пересечений зависит от сочетания коэффициентов при разных степенях х.

Нулем функции называется значение х в точке пересечения графика с осью абсцисс.

Нули можно вычислить как корни уравнения .

Многочлен степени n не может иметь более n корней.

На рис.6. Показан график многочлена 5 степени с максимально возможным количеством нулей. Нули вычислены как корни уравнения

Рис.5 Нули и экстремумы многочлена пятой степени.

 

4. Задача графического определения производной. Возрастание, убывание функции. Признаки экстремумов

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: