Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания.

 Функция называется возрастающей в точке , если при как угодно малом увеличении от  увеличивается у. Если при как угодно малом увеличении х от  у убывает, функция убывающая.

Вернемся к графику функции на рис.9.

Обращаясь к графическому способу определения, заметим, что при возрастании функции производная положительна (например, при x =-8 ), а при убывании – отрицательна (например, при x =1 ). Чем больше модуль углового коэффициента, тем быстрее растет или убывает функция. Направление изменения зависит от знака производной.   

 

Достаточный признак экстремума.

В точке экстремума производная всегда равна 0. Но существуют точки и помимо экстремумов, в которых производная равна 0. См., например, рис 11. В точке х=4 производная равна 0, но экстремум отсутствует. Для существования экстремума обязательно (достаточно) изменение знака производной при прохождении аргумента через точку , в которой производная равна 0. Если знак производной меняется с положительного на отрицательный, то в  максимум. Если с отрицательного на положительный – в  минимум. На рис 12. производная всегда положительна, что согласуется с отсутствием экстремума. Постройте самостоятельно касательные слева и справа от точек экстремума на рис 9, 10. и убедитесь, что указанное достаточное условие экстремума выполняется.

 

Рис 11. Отсутствие экстремума при нулевой производной.

Определение производной расчетным путем.

Если известна формула для вычисления функции, то угловой коэффициент в задачах В8 может быть вычислен, как значение производной в точке касания.

Рассмотрим методы вычисления производных от многочленов, необходимые для решения задач В8.

Многочлен есть алгебраическая сумма произведений степенных функций на постоянные коэффициенты

Пример 6.

Свойства производных, используемые для расчета.

1) Производная степенной функции

в частности, при n=0 и n=1:

2) Производная произведения функции на коэффициент

для любой функции:

для степенной функции:

3) Производная суммы функций:

Производную многочлена подробнее рассмотрим на  примере:

Пример 7.

Получить формулу для вычисления производной  многочлена из примера 6.      

Ответ:

 

Рис. 12. Сравнение графического и расчетного метода определения производной.

5, 1584-0, 4464=4, 712.

 

На рис 12. представлен график рассмотренной функции из примера 6 и график касательной в точке x = 1, 2. Сравним значения производной, определенной графически и вычисленной по формуле из примера 7.

При использовании графического способа нахождения производной учтем, что угол между касательной и положительным направлением оси Х лежит в пределах     . Поэтому производная, определенная графически, будет положительна. Модуль производной определим как длину катета ВС треугольника АВС, катет ВА которого равен единице. Она также приблизительно равна 4, 712. Результат расчета производной по формуле примерно совпадает с ее графической оценкой.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: