Угловой коэффициент касательной и производная.

Касательной к графику линейной функции является график самой линейной функции

В общем случае касательная к графику функции y = f ( x ) в точке  - это прямая, которая является предельным положением секущей, когда точки пересечения сливается в одну.

Процесс перехода от первой секущей ко второй и, наконец, к касательной показан на рис. 7. При каждом таком переходе необходимо, чтобы точка , для которой отыскивается положение касательной,  должна располагаться между ближайшими к ней точками пересечения секущей и графика функции.

Касательная может пересекать ось OX (прямая АС ) или быть параллельной оси ОХ (зеленая прямая а ).

Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла α между касательной и положительным направлением оси абсцисс. Этот угол должен быть в пределах от На графике рис… . Знак углового коэффициента совпадает со знаком угла. На графике рис….

Если касательная параллельна оси ОХ, то  и

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания, т.е.

Рис.6. Касательная как предельное положение секущей.

 

Рассмотрим примеры графического определения углового коэффициента..

 

Пример 5.

На графике рис.8 показан график функции. Требуется определить значение производной в точке

Рис 7. Условие примера 5.

 

Решение. Пример осложнен тем, что точка пересечения касательной с осью ОХ на рисунке отсутствует. Произведем дополнительное построение. Сначала продолжим прямую АС до пересечения с осью ОХ в точке А’. Построим прямую АВ II ОХ. Из точек В и В’ построим перпендикуляры к оси ОХ. Получатся подобные прямоугольные треугольники   А’В’С’, и   АВС.  Угловой коэффициент может быть с равным успехом вычислен как отношения ВС/АВ или В’С’/ А’В’. Отсюда вывод: если на чертеже отсутствует точка пересечения касательной с осью ОХ, угловой коэффициент может быть вычислен с использованием произвольного треугольника, образованного отрезком касательной и отрезками параллельными осям ОХ и О Y.

 

. Рис 8. Дополнительное построение к рис. 8.  Оценка углового коэффициента при недоступности точки пересечения касательной с осью абсцисс.

 

На рис 9 производная в точке x ₀ вычисляемая как отношение ВС/АВ, равна 0, 25.

Ответ: 0, 25.

 

Графическое вычисление производной часто можно упростить.

Рассмотрим график рис.10. Построим касательную в точке, например,   и доведем ее до пересечения с осью Х.

От точки пересечения отложим вдоль оси Х отрезок единичной длины АВ (А< В) и восставим перпендикуляр из точки В до пересечения с касательной в точке С. Длина отрезка BC равна угловому коэффициенту касательной в точке   

 

ВС/АВ= ВС/1= ВС

 

Проделаем такое же построение для касательной в точке . Получим отрезок В₁С₁, длина которого равна угловому коэффициенту касательной в точке .

 

 

Рис 9. Упрощенный метод графической оценки углового коэффициента касательной.

 

 

Если на чертеже затруднительно построить точку пересечения касательной с осью Х , то можно определить угловой коэффициент, построив на касательной как на гипотенузе прямоугольный треугольник, выбрав длину катета, параллельного оси OX, равной единице (рис.10). Тогда угловой коэффициент будет равен длине другого катета.  

 

Рис 10. Метод графического определения производной с использованием единичного отрезка, параллельного оси ОХ. Производная в точке х= -0, 05 равна 0, 71.

 

В задачах В8 графики построены так, что производная определяется как отношение двух целых чисел. Однако в практических задачах треугольник с единичным катетом бывает полезен.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: