Решение задач с параметром.

В качестве подготовительного рассмотрим следующий пример.

Пример 8.

Прототип задания B8 (№ 27486)

 

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.   Решение. Из уравнения касательной следует, что производная в точке касания равна  . Найдем производную функции и абсциссу точки, в которой производная равна Решим уравнение

Это квадратное уравнение имеет 2 решения . Проверим принадлежность этих решений графику касательной. Для этого подставим сначала первый корень в выражение для функции и найдем ординату искомой точки

Проверим, принадлежит ли точка (-1; -7) графику касательной

В точке (-1; -7) данная прямая является касательной к графику данной функции. Абсцисса точка касания (-1). Графики к задаче приведены на рис. 11.

Стоит ли проверить  . В этой точке производная тоже равна - 4.

 Проверим, принадлежит ли точка (-11/3; -4) прямой .

 

 - лишний корень.

Ответ: -1

 

Рис. 14. График функции и касательная с четырьмя точками касания.

 

Рис. 15. Графики к задаче № 27486.

 

Пример 9. Прототип задания B8 (№ 119972) Прямая является касательной к графику функции . Найдите a.   Решение. Рассмотрим две функции

Общие точки графиков этих функций определяются из условия

Это уравнение преобразуется к квадратному

Касание, т.е. единственная общая точка будет, если D=0

.

Ответ: 0, 125

 

Пример 10.

Прототип задания B8 (№ 119973)

Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Задача сводится к исследованию уравнения

Это уравнение преобразуется к квадратному

Используя формулу сокращенного умножения, получим

Уравнение имеет два корня -33 и 23.

Решением задачи является

Ответ: 23

7. Дополнительные примеры.

Пример 11.

Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Рис. 16. График к примеру 11.

 

Производная для уравнения прямой равна 7 при любом  х. Касательная должна быть параллельна прямой. (рис 16). Угловой коэффициент прямой должен быть равен угловому коэффициенту касательной Это значит, что угловой коэффициент касательной должен быть равен 7.

 

y ' = 2 x + 6

2 x + 6 = 7

x =0, 5

Поскольку точка касания принадлежит графику функции, абсцисса определяется из уравнения функции.

Ответ: - 4, 75

Пример 12.

Дан график функции. Построить приблизительный график призводной.

1. Находим точки экстремумов функции и на графике производной отложим нули на графике производной..

2. На каждом участке оси ОХ между парой экстремумов обозначим точки в которых функция меняется наиболее быстро. В этих точках отметим максимумы и минимумы производной. Оценив угловые коэффициенты графическим способом, отметим экстремумы производной по оси ОY.

3. Учтем, что при неограниченном уменьшении/увеличении аргумента производная неограниченно возрастает или убывает. Построим «хвосты» график производной при неограниченном увеличении и уменьшении х.

4. Соединим полученные точки плавной кривой, получим график производной.

Результат построения показан на рис 17.

Рис 17. Графики к примеру 12.

Пример 13.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Рис 18. График к примеру 13.

В точке х= -3 производная равна 0. Слева от этой точки производная положительна, т.е. функция возрастает. При х > -3 производная отрицательна. Функция убывает. Значит при х=-3 функция имеет максимум.

Ответ: 3

 

Пример 14.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Рис 19. График к примеру 14.

Прямая   y =-2 x -11 имеет угловой коэффициент -2. График производной – это график углового коэффициента. Найдем количество пересечений уровня -2. Это и будет количество точек, в которых производная равна -2. Этих точек 5.

Ответ: 5.

Пример 15.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

 

Скорость - производная от закона движения

При t = 9

Ответ: 60.

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: