РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

 

Цель: ознакомиться с основными методами решения систем линейных уравнений средствами MathCAD.

Центральным вопросом вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т.е. систем уравнений вида:

В матричной форме СЛАУ записывается в эквивалентном виде:

,

где А - матрица коэффициентов СЛАУ размерности ;

       x - вектор неизвестных;

B - вектор правых частей уравнений.

СЛАУ имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. В MathCAD СЛАУ можно решить двумя способами:

1. С использованием вычислительного блока Given/Find: это специальный вычислительный блок, в котором после служебного слова Given задаются уравнения системы. Блок заканчивается обращением к функции поиска решения Find:

Given.

Уравнения и неравенства

Выражение с Find (x, у,...)

Параметрами функции Find. являются переменные, которые и под­бираются в процессе решения, чтобы удовлетворялись уравнения и неравенства системы. Предварительно этим переменным перед Given необходимо присвоить начальные значения. При задании уравнений используется специальный жирный знак равенства, который набира­ется комбинацией клавиш Ctrl= . Ограничительные условия задаются с помощью операторов знаков отношений:

 

Оператор  х > у  х < у  х ≥ у  х ≤ у  х ≠ у  х = у

Набор х > у  х < у х Ctrl ) у х Ctrl ( у х Ctrl # у х Ctrl = у

2. С использованием встроенной функции :

        (A, b) - решение системы линейных уравнений;

       где A - матрица коэффициентов системы;

                   b - вектор правых частей.

Матрицу при этом можно определять любым способом. Встроенную функцию  можно применять и при символьном решении СЛАУ. 

 

Функции, возвращающие специальные характеристики матриц

Следующие функции возвращают специальные характеристики матриц:

cond1(M) cond2(M) conde(M) condi(M) norm1(M) norm2(M) norme(M) normi(M)

― возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в норме L1; ― возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в норме L2; ― возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в норме евклидового пространства; ― возвращает число обусловленности матрицы, основанное на равномерно норме; ― возвращает L1 норму матрицы М; ― возвращает L2 норму матрицы М; ― возвращает евклидову норму матрицы М; ― возвращает неопределённую норму матрицы М;

 

Задание 1

Решить систему алгебраических уравнений и исследовать влияние коэффициентов системы на её решение.

 

Порядок выполнения задания

 

1. Определить и заполнить матрицу коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений.
2. Вычислить определитель матрицы.
3. Вычислить четыре нормы матрицы ||A||₁,||A||₂,||A||_I,||A||_e.
4. Вычислить коэффициент обусловленности матрицы через стандартные функции cond1, cond2, condi, conde.
5. Определить и заполнить вектор правых частей системы уравнений – b₁.
6. Вычислить и вывести решение системы уравнений Ax₁=b₁.
7. Определить и заполнить второй вектор правых частей – b₂.
8. Вычислить и вывести решение системы уравнений Ax₂=b₂.
9. Вычислить относительную погрешность решения задачи и относительное возмущение вектора правых частей.
10. Вычислить отношение относительной погрешности решения к относительному возмущению вектора правых частей и сравнить полученное значение с коэффициентом обусловленности.
11. Исследовать подобным образом решение системы, изменяя диагональные элементы матрицы коэффициентов.

 

Варианты:

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

 

8.

 

9.

 

 

10.

 

 

11.

 

 

12.

 

 

13.

 

 

14.

 

 

15.

 

 

16.

 

Лабораторная работа № 6.

 

ГРАФИК ПОВЕРХНОСТИ

 

Цель: научиться строить трехмерные графики с помощью программы MathCAD.

 

В отличие от двумерных графиков, которые используют дискрет­ные аргументы и функции, график поверхности, или трехмерный гра­фик, требует матрицы значений. Поэтому перед его построением все отображаемые значения должны быть организованы в виде двумер­ного массива. В качестве координат по осям х и у используются номера строк и столбцов. Элементы матрицы представляются на графике как высоты, расположенные выше или ниже плоскости Оху. После заполнения матрицы значений надо активизировать режим по­строения Surface Plot (График поверхности) либо через меню Grap­hics (Графики), либо нажатием кнопки на инструментальной панели Graph (Графика) (“горячие” клавиши CTRL-t-2). Под возникшей на экране на месте графического курсора рамкой следует в очерченном квадратике набрать имя подготовленной матрицы и нажать клавишу Enter или просто щелкнуть мышью за пределами графической обла­сти.

Типичный поверхностный график показывает значения функции двух переменных. Чтобы создать такой график, требуется выпол­нить следующие действия.

• Решить, сколько необходимо точек по осям х и у. Определить дискретные аргументы i и j, чтобы индексировать эти точки. На­пример, при 10-ти точках в каждом направлении вводятся ран­жированные переменные:

i :=0..9  j :=0..9

• Определить значения аргументов x_i, и y_j как равномерно распо­лагаемые точки в выбранных диапазонах на осях х и у:

x_i := x_i + i • h_x y_j := y₀+j • h_y

• Определить функцию двух переменных x и у — f( x, y).

• Заполнить матрицу М значениями функции f( x_i, y_j).

• Выбрать опцию Surface Plot (График поверхности) из меню “Гра­фика”.

• Напечатать М в поле ввода и щелкнуть вне области графика.

 

Программа MathCAD, особенно ее последние версии, предоставля­ет широкие возможности по изменению вида поверхностного графи­ка. Рассмотрим основные из тех, которые реализованы в MathCAD 6.0 PLUS.

Чтобы изменить любую характеристику графика, следует восполь­зоваться диалоговым окном Format 3D Plot (Формат 3D График), ко­торое вызывается двойным щелчком кнопкой мыши непосредственно на графике. Это окно содержит четыре вкладки: View (Вид), Axes (Оси), Color & Lines (Цвет и линии) и Title (Заголовок).

Вкладка View (Вид) позволяет редактировать общий вид графика. Здесь можно задать угол вращения графика, изменяя параметр на­стройки Rotation (Вращение). Если вращение равно 0, то линия сет­ки, соответствующая первому столбцу матрицы, располагается свер­ху вниз, а линия, соответствующая первой строке, — слева напра­во. Если вращение равно 90 (этот параметр измеряется в градусах), линия сетки, соответствующая первому столбцу матрицы, распола­гается справа налево, а линия, соответствующая первой строке, — сверху вниз.

Опция Tilt (Наклон) позволяет изменить ракурс наблюдения гра­фика. Увеличение наклона поднимает точку наблюдения над коорди­натной плоскостью х-у. Когда наклон равен 0, график виден сбоку; когда наклон равен 90, график виден сверху.

Чтобы управлять соотношением величин по вертикали, изменяют значение в поле Vert. Scale (Верт. Масштаб). Оно задается в про­центах. При 100%-м значении все изменения показываются в полном масштабе, соответственно при значениях в несколько процентов из­менения по высоте будут едва заметны.

Чтобы добавить или удалить рамку вокруг области графика, сле­дует щелкнуть на кнопке Show Border (Показать Рамку) в группе Fra­mes (Рамки). Рамкой называется обычный прямоугольник вокруг области графика. Чтобы заключить поверхность и оси внутрь ко­ординатного параллелепипеда, следует активизировать опцию Show Box (Показать Ящик).

Можно добавить координатные плоскости к оформлению графика, выбрав Show (Показать) в группе Back Planes (Грани), закрасить эти плоскости: Fill Color (Закрасить), выделить контуры граней другим цветом: Edge Color (Цвет ребер).

  Вкладка View (Вид) позволяет также преобразовывать полученный график поверхности в Другие типы трехмерных графиков. Для этого надо нажать соответствующую кнопку в группе Display As: (Отобра­зить как:): Contour Plot (Линии уровня), 3D Bar Chat (Гистограмма), Data Points (Точки данных).

Возможность изменения способа, окраски поверхности реализова­на на вкладке Color & Lines (Цвет и линии). Чтобы задать способ окраски графика, следует выбрать соответствующую кнопку в груп­пе Shading (Окраска).

• None (Нет) — поверхность не будет окрашена.

• Grayscale (Черно-белая) — максимальные значения матрицы бу­дут отображаться в белом свете, минимальные - в черном, а промежуточные — оттенками серого.

• Color (Цветная) максимальные значения матрицы будут ото­бражаться в красном свете, минимальные — в синем, а проме­жуточные - в диапазоне от желтого до зеленого.

Если выбран режим отображения поверхности без окраски, то она будет казаться прозрачной. В некоторых случаях, когда это свой­ство мешает восприятию, имеет смысл сделать поверхность непро­зрачной. Для этого надо выбрать в группе Fill Style (Стиль запол­нения) пункт Hidden Lines (Невидимые линии), и MathCAD скроет любые линии, которые находятся позади поверхности. Такой график требует больше времени для вывода, т.к. система должна опреде­лить, какие части поверхности открыты.

По умолчанию MathCAD накладывает сетку на окрашенные по­верхности. Пересечения линий, составляющих эту сетку, соответ­ствуют элементам исходной матрицы. Каждый фрагмент, выреза­емый этой сеткой, окрашивается в соответствии со значением эле­мента матрицы. Когда число элементов матрицы увеличивается, эта сетка может стать настолько плотной, что начнет затенять цвета. В этом случае можно убрать сетку, отметив мышью пункт Hide Mesh (Скрыть сетку) в группе Fill Style (Стиль заполнения). Поле Скрыть сетку доступно только для окрашенных графиков, поскольку, если убрать сетку с неокрашенного графика, он станет невидимым.

Здесь не ставится задача описания всех возможностей изменения графика поверхности. При желании можно пробовать любые возможности, предоставляемые пользователю в диалоговом окне фор­матирования, Чтобы увидеть производимые изменения, не закрывая диалоговое окно, следует нажимать кнопку Applay (Применить). Закрытие окна происходит при нажатии кнопки ОК или клавиши Enter на клавиатуре.

Задание 1.

Изобразить график поверхности, а также линии уровня функции

z = x^ky^mexp( ) в квадрате -а < х < а, —а < у < а. Указать приближенно координаты локальных экстремумов и седловых точек, если они есть. Изучить возможности изменения параметров рисунка.

В а р и а н т ы

Вариант определяет конкретный набор параметров заданной функ­ции:

№	k	m	A	B	a
1	1	1	3	4	4
2	2	1	3	4	4
3	1	2	3	4	4
4	2	2	3	4	4
5	2	2	3	2	4
6	2	2	2	2	2
7	2	2	4	2	4
8	2	1	4	2	4
9	1	2	4	2	4
10	1	1	3	9	3
11	1	2	3	5	4
12	2	1	3	4	4
13	2	2	3	2	4
14	2	1	4	5	3
15	1	2	3	3	4

Порядок выполнения задания

1. Определить дискретные аргументы i и j,

2. Определить в плоскости значения аргументов x_i и y_j,

3. Определить функцию двух переменных х и у: f( x, y).

4. Заполнить матрицу М значениями функции f(x_i,y_j).

5. Построить график поверхности.

6. Рассмотреть все возможности изменения графика с помощью диалогового окна форматирования (вращение, наклон, окрашивание и т.д.).

7. Построить график из линий равного уровня, или контурный

график, активизируя опцию Contour Plot (Линии уровня).

Пример:

 

n := 20 i := 0 .. n j := 0 .. n Задание дискретных аргументов

 

  Задание переменных

 

F(x, y) := sin(x² + y²)   Задание функции двух переменных

 

M_{i, j} := F(x_i, y_j)      Формирование матрицы значений

 

              График поверхности

 

 

Лабораторная работа № 7

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: