РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: научиться решать нелинейные уравнения средствами MathCAD.

Многие уравнения, например трансцендентные, не имеют аналитических решений. Однако они могут быть решены численно итерационными методами с заданной погрешностью. Для решения одного уравнения вида f( x) = 0, с одним неизвестным в MathCAD используется функция root:

root (выражение, имя_переменной)

Первый аргумент есть либо функция, определенная где-либо в рабочем документе, либо выражение для вычисления скалярного значения. Второй аргумент имя переменной, которое используется в выражении. Этой переменной перед вызовом функции root необходимо присвоить числовое значение. MathCAD использует его как начальное приближение при поиске корня. Функция root возвращает значение этой переменной, при котором выражение обращается в ноль.

При использовании функции root следует иметь в виду:

• для выражения с несколькими корнями начальное значение определяет корень, который будет найден MathCAD;

• MathCAD позволяет находить как вещественные, так и комплексные корни. Для поиска комплексного корня следует взять в качестве начального приближения комплексное число.

MathCAD в функции root использует для поиска корня метод секущих. Когда значение выражения — первого аргумента функции, становится меньше значения встроенной переменной TOL, корень считается найденным, и функция root возвращает полученное значение.

Если после многих итераций MathCAD не может найти подходящего приближения, то появляется сообщение об ошибке: «отсутствует сходимость». Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

уравнение не имеет корней;

корни уравнения расположены далеко от начального приближения;

выражение имеет локальные экстремумы между начальным приближением и корнями;

выражение имеет разрывы между начальным приближением и корнями;

выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным (или наоборот).

Чтобы установить причину ошибки, рекомендуется исследовать график функции f{ x). Он помогает выяснить наличие корней уравнения f{ x) = 0 и, если они есть, определить приближенно их значения.

Для выражения f( x) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f{ x) эквивалентно поиску корней уравнения h( x) = О, где h( x) == f( x)/( x— a). Часто бывает проще искать корень выражения h( x) чем пробовать искать другой корень уравнения f{ x)=0, выбирая различные начальные приближения. Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу.

Для нахождения корней многочлена вида

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+ ... +a ₀

лучше использовать функцию polyroots, нежели root. Функция polyroots выдает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные в виде вектора из п компонент. Кроме того, функция polyroots не требует начального приближения. Единственным аргументом функции polyroots является вектор из коэффициентов полинома длины п+1 polyroots (a).

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно пятидесяти. Для этого служит специальный вычислительный блок, в котором после служебного слова Given задаются уравнения системы и различные ограничения в виде неравенств. Блок заканчивается обращением к функции поиска решения Find:

Given.

Уравнения и неравенства

Выражение с Find (x, у,...)

Параметрами функции Find. являются переменные, которые и подбираются в процессе решения, чтобы удовлетворялись уравнения и неравенства системы. Предварительно этим переменным перед Given необходимо присвоить начальные значения. При задании уравнений используется специальный жирный знак равенства, который набирается комбинацией клавиш Ctr1= . Ограничительные условия задаются с помощью операторов знаков отношений:

Оператор х > у х < у х ≥ у х ≤ у х ≠ у х = у

Набор х > у х < у х Ctrl ) у х Ctrl ( у х Ctrl # у х Ctrl = у

Если система нелинейных уравнений не имеет решения, то можно попытаться найти приближение к несуществующему решению путем минимизации среднеквадратичной погрешности решения. Для этого в MathCAD введена функция Minerr (минимизация ошибки), которая используется вместо функции Find. При ее использовании надо проявлять известную осторожность и обязательно предусматривать проверку решений. Нередки случаи, когда решения могут оказаться ошибочными, чаще всего из-за того, что из нескольких корней предлагается нереальный (или не представляющий интереса) корень. Полезно как можно точнее указывать начальное приближение к решению.

Задание 1.

Найти все корни заданного алгебраического уравнения, используя функции root и polyroots. Сравнить полученные решения.

Порядок выполнения задания

1. Задать функцию, нули которой требуется найти.

2. Построить график функции для локализации ее нулей.

3. Задать начальное приближение.

4. Найти и вывести полученное значение вещественного корня.

5. Для поиска комплексных корней определить мнимую единицу.

6. Задать комплексное начальное приближение.

7. Последовательно найти все остальные корни исключая найденные корни из исходной функции.

8. Задать вектор коэффициентов многочлена.

9. Воспользоваться функцией polyroots для поиска корней.