РАСШИРЕННЫЕ СКАЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Цель: научиться вычислять суммы, произведения, значения производных и интегралов в среде MathCAD.

Система MathCAD позволяет очень просто с помощью расширенных операторов вычислять суммы, произведения, численные значения производных и интегралов. Эти расширенные операторы ведут себя как функции, т.е. возвращают вычисленные значения, поэтому их можно использовать в составе математических выражений.

Вычисление того или иного значения проще всего производить через панель операторов математического анализа Calculus (Исчисление). Ее пиктограмма в строке инструментов состоит из значков интеграла и производной. Панель предоставляет пользователю возможность вычисления производных любого порядка, конечных сумм и произведений, интегралов и пределов.

Для работы с суммами и произведениями в MathCAD предусмотрены оператор суммы и оператор произведения . Эти операторы могут выдавать как численные, так и символьные значения. При определении численного значения необходимо задать промежуток изменения индексной переменной. Он может быть задан заранее в форме ранжированной переменной, тогда в шаблоне под символом суммы (горячая клавиша $) или произведения (горячая клавиша #) необходимо указать только идентификатор переменой индекса. После символа суммы или произведения имеется поле заполнения для выражения, задающего слагаемые либо множители. Кроме того, можно задавать пределы изменения индекса, как это обычно принято в математике, в соответствующих шаблонах под и над символом суммы (произведения). В этом случае символы суммы или произведения вводятся при помощи комбинации клавиш Ctrl+Shift+4 или Ctrl+Shift+3 соответственно. Нужные пиктограммы также находятся в панели Calculus (Исчисление).

Рассмотрим, как вычислить определенный интеграл. Щелчок мышью на кнопке с изображением определенного интеграла выводит на экран шаблон интеграла с четырьмя полями заполнения: для ввода нижнего предела интегрирования, верхнего предела интегрирования, для задания подынтегральной функции и для указания имени переменной, по которой проводится интегрирование. При вводе данных следует подвести курсор мыши на нужное поле и щелкнуть на нем левой ее клавишей. Затем таким же способом надо заполнить все остальные поля. Установив знак равенства после набранного выражения, можно сразу увидеть результат вычисления интеграла.

Для приближенного вычисления определенного интеграла система MathCAD использует численный метод интегрирования Ромберга. При выполнении численного интегрирования в MathCAD необходимо придерживаться следующих правил:

1. Пределы интегрирования должны быть вещественными. Выражение, которое нужно интегрировать, может быть, однако, вещественным или комплексным.

2. Кроме переменной интегрирования, все остальные переменные в подынтегральном выражении должны быть определены ранее в другом месте рабочего документа.

3. Переменная интегрирования должна быть простой переменной без индекса.

Подобно всем численным методам, точность алгоритма интегрирования в MathCAD зависит от особенностей подынтегрального выражения. Если интегрируемое выражение имеет особенности: разрывы или быстро осциллирует, - численное решение, найденное MathCAD, может быть неточным.

При задании сложных вычислений работа системы может быть длительной. Для прерывания работы можно нажать клавишу Esc.

MathCAD выведет надпись о прерывании вычислений и небольшое окно с двумя командами: ОК – подтвердить прерывание и Cancel (Отмена) – отменить прерывание.

Для того чтобы вычислить неопределенный интеграл, необходимо после ввода в шаблоны подынтегральной функции и переменной интегрирования, выделить все выражение рамкой, а затем кликнуть по кнопке («стрелка») в панели Symbolic (Символьные операции). Первообразная с нулевым значением константы интегрирования будет отображена справа от стрелки.

Задание 1.

Вычислить таблицу значений функции, ее первой и второй производных для набора значений аргумента. Построить графики.

Порядок выполнения задания

1. Определить исходную функцию f( x).

2. Определить функцию, являющуюся первой производной g( x)= f``( x).

3. Определить функцию, являющуюся второй производной h( x)= f```( x).

4. Задать диапазон изменения аргумента.

5. Вывести столбцы значений f( x), g( x), h( x).

6. Построить графики.

Варианты

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Задание 2

Вычислить сумму (или произведение) как функцию от числа суммируемых членов n для n=1,2,…,10 при заданном значении аргумента x. Построить график зависимости, на котором обозначить точное значение. Точное значение для каждого варианта задания приведено в квадратных скобках в виде выражения, представляющего данную сумму или произведение как функцию от х или в виде табличного значения (при ), взятого из справочника.

Варианты

1. .

2. .

3. , .

4. , .

5. .

6. .

7. , .

8. , .

9. , .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Задание 3

Вычислить двумя способами определенный интеграл от функции из задания к работе 2 на отрезке интегрирования, включающем все изломы графика функции. Первое значение получить непосредственно по всему промежутку, второе значение вычислить как сумму интегралов по промежуткам между изломами функций.

Задание 4

Вычислить неопределенный интеграл , проверить правильность вычислений, взяв производную, и построить графики семейства первообразных.