РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Цель: научиться решать дифференциальные уравнения в среде MathCAD.

 

При решении дифференциальных уравнений искомой величиной является функция. Для обыкновенных дифференциальных уравнений неизвестная функция — функция одной переменной. Чтобы решение было единственным, задают дополнительные условия — начальные или краевые, которые определяют тип задачи: задача Коши или кра­евая задача. Рассмотрим как в MathCAD решается задача. Коши.

Все встроенные функции MathCAD предназначены для решения за­дачи Коши нормальных систем дифференциальных уравнений; зада­ча Коши для одного уравнения сводится к решению задачи для си­стемы. Задача Коши ставится следующим образом:

 

y’₁ = f₁(x, y₁, y₂, … , y_n), y₁(0) = y_0,1,

y’₂ = f₂(x, y₁, y₂, … , y_n), y₂(0) = y_0,2,

……………………….

y’_n = f_n(x, y₁, y₂, … , y_n), y_n(0) = y_0,n.

 

 

Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y_i,1, y_i,2…, y_{i,, n}, решения y₁( x), у₂(х),…у _n(х) на отрезке [x₀, x_N] в точках x₀, x₁, x_N, которые называются узлами сетки.

Систему, содержащую производные высших порядков и разрешен­ную относительно старших производных искомых функций, путем введения новых неизвестных функций можно привести к нормальному виду. В частности, для дифференциального уравнения n-го порядка

 у⁽ⁿ⁾ = f( x,у, у', у''..., y^(n-1)), полагая у' =: u ₁ (х), у" = u₂(х),....,  y^(n-1) = y_n-1, у⁽ⁿ⁾ = f_n( x, y , u ₁ …, u_n-1), будем иметь эквивалентную нор­мальную систему из n дифференциальных уравнений первого поряд­ка относительно функций y, u ₁, u₂,..., u_n-1:

y’(x) = u₁(x),

u’₁(x) = u₂(x),

…………..

u’_n-2(x) = u_n-1(x),

u’_n-1(x) = f(x, y(x), u₁(x), …, u_n-1(x)).

 

В MathCAD задачу Коши для нормальной системы можно решить с помощью разных встроенных функций, среди которых наиболее про­стыми являются функции, реализующие широко распространенный метод Рунге-Кутта четвертого порядка:

Наиболее часто используются функции, которые ищут решение широко распространенным методом Рунге-Кутта четвертого поряд­ка.

rkfixed (y, x_a, x_b, Npoints, D) - решение задачи Коши на отрезке с постоянным шагом;

Rkadapt (y, x_a, x_b, Npoints, D) - решение задачи Коши на отрезке с автоматическим выбором шага.

Параметрами обеих функций являются:

у — вектор начальных условий размерности п, где п — поря­док дифференциального уравнения или число уравнений в системе. Для дифференциального уравнения первого порядка вектор началь­ных условий вырождается в одну точку у0.

x_a, x_b - граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальные условия, задаваемые в векторе начальных условий - это значения решения в точке x_a.

Npoints - число точек, не считая начальной, в которой ищет­ся приближенное решение. Этот параметр определяет число строк (1 + Npoints) в матрице результатов.

D( x, y) - функция, которая возвращает в виде вектора из п эле­ментов значения первых производных неизвестных функций (правые части дифференциальных уравнений системы).

В результате решения получается матрица, число столбцов кото­рой на, единицу больше порядка дифференциального уравнения или числа уравнений в системе. Первый столбец матрицы содержит зна­чения узлов, т.е. точек, в которых ищется решение. Второй столбец содержит значения искомой функции в узлах, а оставшиеся столб­цы значения производных, начиная с первой и до (n-1)-й включи­тельно. Для дифференциального уравнения первого порядка матрица решения состоит всего из двух столбцов: значений узлов и значений найденного решения в. этих узлах. Вывод таблицы на экран, как обычно, осуществляется, набором символа обычного равенства «i»; при этом если щелкнуть по полю появившейся таблицы - то можно просмотреть ее всю, используя стрелки прокрутки.

В качестве примера рассмотрено решение задачи Коши для уравнения первого порядка:

у'(х) = у(х) - 2х/у( x), на промежутке от 0 до 6 с начальным условием y(0) = 1. Для этого уравнения известно точное решение задачи: . Варьируя число разбиений проме­жутка интегрирования, можно проследить, как сходится приближен­ное решение к точному. Обращение к функции rkfixed и полученные результаты приведены в примере.

Для решения уравнений порядка выше первого, помимо разрешения уравнения относительно старшей производной, необходимо свести за­дачу к задаче для нормальной системы дифференциальных уравне­ний. Например, задачу Коши для уравнения второго порядка у"(х) +у'(х) - 2у(х) = 0 с начальными условиями у(0) = 1- у'(0) = 3 преобразуем в нормальную систему, вводя обозначения у' = и ₁(х), y" = и ₂ ( x ). Поскольку y"(x) = - у'( x)+ 2 у(х), то получим систему:

у'(х) = u₁(х),           у(0) = 1,

у'₁ (х) = - u₁(х) + 2у,   u₁(0) = 3.

В примере показано, как задать исходные векторы началь­ных значений и первых производных (векторы U и D). С помощью функции rkfixed на отрезке от 0 до 6 получено два решения: с задава­емым числом разбиений (N) и учетверенным числом разбиений (4N). Сравнение двух решений приведено на графике.

Задание 1.

Решить на отрезке [ x ₀, x_end] задачу Коши для уравнения первого порядка с постоянным шагом. Получить и изобразить графики ре­шений, вычисленных с шагами h, и 4h. Сравнить с точным решением.

Порядок выполнение задания

 

1. Задать начальное значение функции как элемент вектора (т.е. в виде переменной с нулевым значением индекса).

2. Создать функцию D( x, y), которая вычисляет значение пере­менной при заданных значениях зависимой переменной и неизвестной функции.

3. Определить начальное и конечное значения отрезка интегриро­вания.

4. Указать число шагов интегрирования.

5. Вычислить численное решение при помощи функции rkfixed:

z := rkfixed ( у , a, b, N, D). Просмотреть результат вычислений — ма­трицу z с двумя столбцами, первый из которых содержит значе­ния независимой переменной, а второй - соответствующие значения функции.

6. Вычислить численное решение при учетверенном числе разби­ений.

7. Создать функцию для вычисления точного решения.

8.  Построить графики приближенных (двух) и точного решения.

9. Изменить число шагов N и проследить за решениями.

Варианты:

№	Уравнение	X0	Xend	y(x0)	Точное решение
1		0	1.5	1	y = sin x + cos x
2		1	3	1	xy = 1 - ln
3		0	4	1	y = (2x + 1) ln +1
4		1	3	e	y = ex(ln +1)
5					x
6		1	2	e
7		1	3	0
8		1	5	1/e	y = x2e-x
9		-1	1	e	y = e-x
10		1	5	(2 ln 2)-1
11		1	3	0
12		1	2	0
13		1	2	(2e)-1/2	2y2x4ex = 1
14		1.1	4		y2 = x2 - 1
15		0	2	0	y = x(1 + x2)

 

 

Задание 2.

Решить задачу Коши у'₁ = f₁(x, y₁, y₂), у' ₂ = f₂(x, y₁, y₂), у₁(a) = y_0,1, y₂(a) = y_0,2  на отрезке [а, b] с постоянным шагом h =0.1 Изобразить графики решений, вычисленных с шагами h  и 2 h.

Варианты

 

№	f1(x, y1, y2)	f2(x, y1, y2)	y0,1	y0,2	a	b
1			-1	1	0	4
2			1	0	0	5
3			0.2	0	-1	1
4			0	0	0	4
5			0.5	-0.5	-1	3
6			-0.6	2	2	5
7			0	0	-1	3
8			0.5	1.2	0	2
9			1	1	1	3
10			0.8	3.5	2	4
11			1	-1	2	4
12			0	0	0	2
13			-2	-1	1	4
14			0	1	-1	1
15			-1	1	0	4

 

 

Пример:

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: