I. Знакомство с учебно-методическим комплектом Мордковича А.Г.

I. Знакомство с учебно-методическим комплектом Мордковича А.Г.

1) Введение

2) Основные содержательно-методические алгебраические линии в школьном курсе математики 1-11 классов (общая концепция)

а) Числа

б) Математический язык. Алгебраические преобразования

в) Функции и графики

г) Уравнения и неравенства

3) Концепция курса алгебры для общеобразовательной школы

а) Основные положения

б) Принципы

в) Приоритетность функционально-графической линии

4) Состав учебно-методического комплекта для учащихся

5) Состав учебно-методического комплекта для учителя

6) Отличительные особенности учебников для 5 и 6 классов

7) Отличительные особенности учебников для 7-11 классов

8) Отличительные особенности задачников для 7-11 классов

9) Отличительные особенности контрольных работ

10) Содержание методического пособия по алгебре для 7-9 классов

11) Содержание методического пособия по алгебре и началам анализа для 10-11 классов

12) Беседа с Мордковичем А.Г. (журнал «Школьное обозрение», №4 2001 год)

II. Математический язык. Математическая модель

III. Функции и их графики

1) Методические особенности концепции изучения функций

2) Уровень строгости введения свойств функции

3) Система упражнений, универсальных при изучении любого класса функций, и их методические особенности

4) Методические особенности изучения темы «Линейная функция»

5) Математическая модель y=f(x)

6) Кусочная функция и ее график

7) Чтение графика функции

IV. Некоторые упражнения из задачника «Алгебра-7»

V. Тригонометрия (10 класс)

 

 

I. ЗНАКОМСТВО С УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМ КОМПЛЕКТОМ Александра Григорьевича МОРДКОВИЧА

 

В 2001 году завершено создание учебно-методического комплекта (УМК) по математике (5-6 класс), алгебре (7-9 класс), алгебре и началам анализа (10-11 класс), образующего единую содержательно-методическую линию с 5 по 11 класс. Авторский коллектив разработчиков возглавил профессор, доктор педагогических наук, заведующий кафедры математического анализа и методики преподавания математики Московского государственного педагогического университета Александр Григорьевич Мордкович. В этом коллективе работают преподаватели учреждений повышения квалификации, педагогических ВУЗов, школьные учителя: Зубарева И.И., Дудницын Ю.П., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е., Денищева Л.О., Корешкова Т.А..

       Все книги имеют гриф Министерства образования РФ и включены в Федеральный комплект.

       Учебники написаны в соответствии с действующим стандартом школьного математического образования и, в значительной степени, с учетом тех изменений в программе, которые предполагается осуществить в ближайшие годы (элементы комбинаторики, первые представления о вероятности, о математическом языке и математических моделях и т.д.).

 

ОСНОВНЫЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 1-11 КЛАССОВ

(общая концепция)

ЧИСЛА

       Начальная школа. Натуральные числа. Арифметические операции над натуральными числами, их свойства и пользование для рационализации вычислений (на уровне наиболее рационального способа вычисления суммы 37+124+63). Первые представления о признаках делимости и о делении с остатком. Первые представления о дробях (на уровне долей 1/2, 1/3). Сравнение натуральных чисел.

       5 класс. Обобщение представлений о натуральных числах, их свойствах и свойствах арифметических операций. Признаки делимости. Деление с остатком. Обыкновенные и десятичные дроби. Бесконечные периодические десятичные дроби и их связь с обыкновенными дробями. Координатный луч. Первые представления о степени числа (квадрат и куб числа). Первые представления о приближенных вычислениях (округления чисел).

       6 класс. Положительные и отрицательные числа. Множество рациональных чисел. Свойства арифметических операций над рациональными числами. Модуль рационального числа. Отношение порядка во множестве рациональных чисел. Координатная прямая. Числовые промежутки. Степени с натуральными показателями, их свойства.

       7 класс. Алгебраические выражения над множеством рациональных чисел. Степень с нулевым показателем.

8 класс. Обобщение представлений о рациональных числах. Иррациональные числа. Множество действительных чисел. Арифметические операции над действительными числами и их свойства. Числовая прямая. Модуль действительного числа, его свойства и геометрический смысл (  как расстояние на координатной прямой между точками x и a). Числовые неравенства и их свойства. Степень с отрицательным целым показателем. Стандартный вид числа. Приближенные вычисления. Операция извлечения квадратного корня из неотрицательного числа и ее свойства.

       11 класс. Операция извлечения корня n-й степени из числа, степени с рациональными показателями и их свойства. Понятие о степени с иррациональным показателем. Степень с произвольным действительным показателем.

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

       Начальная школа. Первые представления об употреблении букв в математике. Ознакомление с простейшими математическими моделями типа: «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в».

       5-6 классы. Развитие представлений об использовании букв в математике, вычисление значений буквенных выражений (выражений с переменными). Составление математических моделей простейших реальных ситуаций (на уровне линейных уравнений). Знакомство с алгебраическими терминами: алгебраическое выражение, коэффициент, подобные слагаемые.

       7 класс. Одночлены, многочлены, арифметические операции над ними. Разложение многочлена на множители.

       8 класс. Алгебраические дроби. Квадратные корни. Преобразования иррациональных выражений (с квадратными корнями).

       10 класс. Формулы тригонометрии, тригонометрические преобразования.

       11 класс. Корни n-й степени. Степени с рациональными показателями. Преобразования иррациональных выражений. Логарифмы и их свойства. Преобразования показательно-логарифмических выражений.

 

ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

       Начальная школа. Пропедевтика: ознакомление с простейшими зависимостями, заполнение таблиц, составление диаграмм.

       5 класс. Координатный луч. Таблицы, диаграммы.

       6 класс. Координатная плоскость. Построение прямых вида x=a, y=b. Отыскание координат точек и построение точек по заданным координатам. Изображение фигур в координатной плоскости (по заданным координатам точек) Построение точек, симметричным данным в координатной плоскости относительно той или иной оси координат, относительно начала координат.

       7 класс. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Линейная функция и прямая пропорциональность. Функция у=х² и ее график. Кусочные функции, составленные из линейных функций и функции у=х² . Наглядно-интуитивное представление о непрерывных и разрывных функциях. Применение графика функции для отыскания ее наибольшего и наименьшего значений на заданном промежутке. Графическое решение линейных и квадратных уравнений, систем линейных уравнений. Первое знакомство с записью . Упражнения, связанные с отработкой функциональной символики ( типа: найти ). Кусочные функции и их графики.

       8 класс. Изучение функций у=к/х, у=ах² , у=ах² + bx +c, , y= . Параллельный перенос графика. Графическое решение уравнений, графическое решение квадратных неравенств. Отыскание наибольших и наименьших значений функций на заданных промежутках (в основном с помощью графика). Упражнения на отработку функциональной символики. Определение возрастающей и убывающей функции (первое свойство, определенное в курсе алгебры). Новые свойства: ограниченность функции сверху и снизу, выпуклость функции вверх или вниз (геометрическое истолкование). Чтение графика.

       9 класс. Общение накопленных представлений о функциях, их свойствах и графиках. Определение функции, ее области определения и области значений. Способы задания функции (аналитический, графический, словесный). Определение следующих понятий: наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке, ограниченность функции, четность и нечетность. Кусочные функции и их графики. Чтение графика (область определения, область значений, монотонность, непрерывность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения, четность и выпуклость). Функциональная символика. Графическое решение систем уравнений.

       Степенные функции у=х^n, y=x^-n .

       Последовательность как функция натурального аргумента. Прогрессии.

       Числовая окружность. Тригонометрические функции, их свойства и графики (первое знакомство).

       10 класс. Тригонометрические функции. Периодичность.

       Предел последовательности, предал функции. Производная и ее использование для исследования функций на монотонность и экстремумы, для построения графиков функций.

       Первообразная и неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

       11 класс. Функция , степенные функции с рациональным показателем. Показательная и логарифмическая функции, их свойства (включая дифференцирование).

 

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

       Начальная школа. Решение простейших уравнений (типа: 4х=28, х+6=9) на основе зависимостей между компонентами арифметических действий. Первые представления о переводе текстовой задачи на язык уравнений.

       5-6 классы. Линейные уравнения и текстовые задачи, сводящиеся к линейным уравнениям ( на языке математического моделирования: составление математической модели, работа с составленной моделью, осмысление полученного результата применительно к условиям - получение ответа на вопрос задачи ).

       7 класс. Линейные уравнения и текстовые задачи ( постоянное повторение курса 5-6 классов по мере продвижения в материале 7 класса). Системы линейных уравнений с двумя переменными и их использование в качестве математических моделей реальных ситуаций. Методы решения систем: графический, подстановка, алгебраическое сложение. Первые представления о решении квадратных уравнений (методом разложения на множители и графическим методом).

       8 класс. Решение линейных неравенств (на основе свойств числовых неравенств). Квадратные уравнения и неравенства. Рациональные уравнения. Решение текстовых задач. Иррациональные уравнения (с квадратными корнями). Понятие о посторонних корнях и проверке корней о решении уравнений. Первые представления о равносильности уравнений и неравенств. Первые примеры на решение уравнений и неравенств с параметрами.

       9 класс. Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений (графический метод, подстановка, алгебраическое сложение, метод введения новых переменных). Системы уравнений, как математические модели реальных ситуаций.

       10 класс. Тригонометрические уравнения и неравенства.

       11 класс. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы уравнений. Обобщение сведений о решении уравнений, неравенств и систем уравнений. Равносильность уравнений и неравенств. Посторонние корни, потеря корней, проверка. Основные методы решения уравнений: графический, разложение на множители, введение новых переменных, переход от уравнения f(u)=f(v) к уравнению u=v. Системы и совокупности неравенств. Решение неравенств с модулями, иррациональных неравенств. Методы решения систем уравнений.

       Уравнения и неравенства с параметрами (относительно несложные).

 

КОНЦЕПЦИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ

ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

      

Основные положения

1. Математика в школе – не наука и даже не основа науки, а учебный предмет.

Пояснения автора: в учебном предмете не обязательно соблюдать законы науки математики (например, такие: все начинается с аксиом, нельзя начинать изучение теории без строгого определения основного понятия, все утверждения требуется доказывать и т.д.), зачастую более существенны законы педагогики и особенно психологии.

 В связи с этим поговорим об определениях в школьно курсе математики. Наша позиция: сложное математическое понятие (например, функция, равносильность уравнений и т.п.) следует вводить при выполнении двух условий:

1) у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия – опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении (вербальный опыт) и опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях (генетический опыт);

2) у школьников появилась потребность в формальном определении понятия.

В отличии от сложившихся традиций мы не вводим в 7 классе определение функции, хотя работаем с функциями и в 7, и в 8 классах очень много. И только в 9 классе, проанализировав накопленный учащимися опыт в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры 7-8 классов, убеждаем их в том, что у них появилась потребность в формальном определении понятия функции и соответствующих свойств функции.

В учебном предмете, в отличие от науки, мы не обязаны все доказывать. Более того, в ряде случаев правдоподобные рассуждения или толкования, опирающиеся на графические модели, а интуицию, имеют для школьников более весомую общекультурную ценность, чем формальное доказательство. Если формальные доказательства мало поучительны, они заменяются правдоподобными рассуждениями. Мое кредо – больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше опоры на правое полушарие мозга.

2. Математика в школе – предмет не естественно-научный, а гуманитарный.

Пояснения автора: естественным этапом развития познания, на котором осуществляется переход от содержательного и качественного анализа объекта к формализации и количественному анализу, является математическое моделирование реальных процессов. Математическое моделирование – основа происходящей в настоящее время математизации научных знаний. Поэтому одной из основных задач школьного математического образования является ознакомление учащихся с соотношениями между явлениями реального мира и его математическими моделями, практическое их обучение построению математических моделей, объяснение им того, что абстрактная математическая модель, в которой отброшено все несущественное, позволяет глубже понять суть вещей. Реальные процессы математика описывает на особом математическом языке в виде математических моделей. Главное назначение математического языка – способствовать организации деятельности (тогда как основное назначение обыденного языка – служить средством общения), что в наше время очень значимо для культурного человека. Поэтому математический язык и математическая модель – ключевые слова в постепенном развертывании курса, его идейный стержень.

Гуманитарный потенциал школьного курса алгебры мы, во-первых, видим в том, что владение математическим языком и математическим моделированием позволит ученику лучше ориентироваться в природе и обществе; во-вторых, в том, что математика по своей внутренней природе имеет богатые возможности для воспитания его мышления и характера; в-третьих, в реализации в процессе преподавания идей развивающего и проблемного обучения; в-четвертых, в том, что уроки математики (при правильной постановке) способствуют развитию речи обучаемого не в меньшей степени, чем уроки русского языка и литературы.

 

Принципы

1. Принцип крупных блоков (компактное изучение того или иного раздела курса алгебры).

2. Отсутствие тупиковых тем (ни в одном классе ни одна тема не связана ни с предыдущим, ни с последующим материалом).

3. Принцип детерминированности, логической завершенности построения курса (программа курса выстроена так, что темы, как правило, непереставимы, порядок ходов понятен учителю).

4. Принцип завершенности в пределах учебного года (школьный курс алгебры – «пятисерийный (по числу лет изучения курса) роман с продолжением»; в каждом конкретном классе изучается определенная серия, имеющая свою внутреннюю интригу и более-менее законченное содержание).

 

Беседа с Мордковичем А.Г.

Вопрос. Александр Григорьевич, в чем заключается принципиальная новизна концепции, лежащей в основе созданной вами линии?

Ответ. Сразу хочу сказать, что основная идея, лежащая в основе данной концепции, только сейчас начинает активно обсуждаться в педагогической среде, в то время как сформулирована она уже довольно давно. Речь идет прежде всего о реализации гуманитарного (общекультурного) потенциала математики. О том, что математика – наука гуманитарная, говорил более 100 лет назад известный немецкий математик Феликс Клейн. В гораздо большей степени это относится к математике как школьному предмету. Но, похоже, сейчас эта позиция начинает приживаться.

Сам я рассматриваю математику в первую очередь как своеобразный язык. Поэтому главной задачей созданного мной школьного курса алгебры является погружение в этот языковой мир: ключевыми словами курса являются математическая модель и математический язык. Все устали от формальной математики, от заучивания бесконечных формул, большинство из которых в жизни чаще всего остается невостребовано. Еще 200 лет назад И. Кант сказал о том, Что нужно «учить не мыслям, а мыслить», но до сих пор этот принцип остается в школе недостижимым идеалом.

Вопрос. Так что же, формулы в вашем курсе не нужно заучивать? А как же экзамены?

Ответ. Моя позиция заключается в том, что в школьной математике надо срочно отойти от рутины заучивания формул. Вопрос об экзаменах – обычный вопрос, который беспокоит учителей и родителей. Однако, на мой взгляд, формулы пусть специально учит тот, кто хочет поступать в соответствующий вуз – там другие правила игры. Однако 60-70 процентам учеников не нужна «вступительная» математика. Будь моя воля, я разрешил бы пользоваться справочниками на всех экзаменах.

С другой стороны, если школьник постоянно видел формулу перед глазами, применял ее, он все равно ее выучит, даже если перед ним не ставить такую цель. Вообще формулы в моем курсе математики стоят на третьем месте. На первом плане – функции, на втором – уравнения. Кстати, функциональный приоритет при изучении математики уже давно стал в развитых странах широко распространенной методической практикой, которая, к сожалению, до сих пор не прижилась в России, хотя и постоянно пропагандировалась ведущими учеными (А.Я. Хинчиным, В.Л. Гончаровым и др.).

Вопрос. А какие преимущества дает приоритет функциональной линии при построении школьного курса алгебры?

Ответ.  Функциональный приоритет моей математической линии позволяет избежать многих трудностей в освоении нового материала. Ведь традиционно в отечественной школе вся алгебра до последнего времени была «левополушарной», а значит, схоластической. А для математических функций можно построить графики и, значит, включить работу правого полушария мозга. Как образно сформулировал наш ведущий математик В.И. Арнольд, левое полушарие отвечает за аналитику, логику, шахматы, интриги, а правое – за интуицию, образы и все, что нужно для реальной жизни. Моей задачей было задействовать оба полушария. Школьники, которые занимаются по моим учебникам, с 7 класса привыкают, например, к графическому решению уравнений. По опыту общения с учителями я знаю, что обычно наибольшие методические сложности представляет самых заформализованных разделов, таких, скажем, как уравнения и неравенства с параметрами. Однако во многих случаях стоит только нарисовать картинку, построить график – школьникам становится все ясно. Кстати говоря, функциональный подход оказался столь привлекательным для учителей, что наши учебник и задачник по алгебре и началам анализа для 10-11 классов заказывают даже те школы, которые в 7-9 классах вели обучение по другим учебникам алгебры.

Еще одна методическая проблема, стоящая перед учителями математики, которую мне, надеюсь, удалось решить, - проблема введения новых, достаточно сложных математических понятий. Обычно такие уроки и для учителя, и для школьника оказываются самыми трудными. Мое психологическое и методическое «ноу-хау» заключается в том, что сложные понятия изучаются сначала на наглядно-интуитивном уровне, потом на рабочем и только в последнюю очередь на формальном…

Вопрос. В отличие от других УМК по математике в вашем комплекте учебник издан отдельно от задачника, чем это вызвано?

Ответ. Разделение учебника и задачника не случайно, оно носит принципиальный характер. И хотя это невыгодно экономически, я иду на него сознательно. Самостоятельность учебника позволяет мне писать его настолько подробно и доступно, чтобы ребенок мог разобраться в тексте сам. Старые учебники, которые издаются более тридцати лет, по сути представляют собой справочники. Они написаны сугубо предметным языком и в основном для учителя. А на уроках математики ребенка надо приучать к самостоятельному чтению, к самостоятельному добыванию информации, но не по справочнику же?

Что касается задачников, то над ними вместе со мной работали авторские коллективы учителей-практиков. Мы стремились сделать задачники избыточными и самодостаточными, чтобы учителю при подготовке к уроку не приходилось обращаться к другим задачникам. Задачники очень четко структурированы, они содержат два базовых уровня – устный и письменный – и два более высоких уровня (выше среднего и повышенной трудности). В каждом блоке однотипных упражнений задания идут с постепенным нарастанием сложности, с добавлением от номера к номеру по одному дидактическому компоненту трудности.

Вопрос. Уже более пяти лет учителя работают по вашим учебникам и задачникам, с какими трудностями, насколько вам известно, им приходится сталкиваться?

Ответ. Мой учебник требует несколько иных форм работы учителя, нежели остальные, и прежде всего обсуждения на уроке того материала, который ребенок прочитал дома. Беседовать о прочитанном, стимулировать ребенка к дальнейшему изучению – это то, чему учителям приходится учиться и что зачастую вызывает у них определенные сложности.

Нет ничего проще и бесполезнее, чем написать на доске тему, определение, доказательство теоремы и задать решение примеров. Но заставить своих учеников разговориться – непросто, а ведь только в самостоятельной речи ребенка рождается настоящее понимание предмета, пусть поначалу эта речь и косноязычна. Но вы можете спросить: а о чем же, собственно, говорить на уроках математики? Тем для разговоров предостаточно – это и происхождение понятий, и то, насколько удалось продвинуться в освоении математического языка, и преимущества графического или формального способа решения. Все это можно найти в моих учебниках. Очень важно выбрать для учителя не только тему для обсуждения, но и найти для этого подходящий момент на уроке. В своих методических пособиях я попытался помочь учителю в этом непростом деле.

Мои учебники предполагают возрастание ответственности учителя за общение с детьми и приучение детей к самостоятельному изучению литературы.

Вопрос. Ваш курс алгебры принципиально отличается от традиционных курсов. Какие учебники математики может использовать учитель в 5-6 классах, чтобы перейти в 7 классе на ваши учебники по алгебре?

Ответ. Чаще всего учителя, начинающие работать в 7 классе по нашим пособиям, используют в 5-6 классах широко распространенные учебники Н.Я. Виленкина и др. Надежную основу для курса алгебры создают также учебники Н.Б. Истоминой, учебники Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон…

Вопрос. В каких классах ваш комплект охотнее всего используют – в математически ориентированных или гуманитарных?

Ответ. Вообще наша линия рассчитана на общеобразовательную массовую школу и ни в коем случае не на нынешние так называемые гуманитарные классы. Я сталкивался с тем, что наши пособия использовались и в математических классах. Просто учителю приходилось добавлять некоторые темы.

Классические же учебники для математических классов написаны моим учителем, покойным Наумом Яковлевичем Виленкиным. Но эти учебники, к сожалению, уже устарели. Сейчас мы начали новый проект по созданию УМК для математических классов; учебник для 8 класса в настоящее время готовится к выходу в свет, завершается работа над соответствующим задачником. По структуре они будут соответствовать нашей общеобразовательной линии, но существенно углубят ее.

В то же время вместе с УМК для общеобразовательной школы, о котором мы сегодня говорили, он будет удобен учителю, который преподает как в обычном, так и в математическом классе в рамках одной школы. Да и ученику, который по каким-либо причинам захочет перейти из одной параллели в другую, будет легче адаптироваться. Другими словами, наш будущий комплект для «углубленки» вкупе с уже действующим общеобразовательным УМК станет хорошим вариантом для профильной школы, о которой сейчас так много говорят.

III. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

Подчеркнем еще раз, что из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры для 7-11 классов в качестве приоритетной выбрана функционально-графическая линия. Это прежде всего выражается в том, что какой бы класс функций, уравнений не изучался, построение материала практически всегда осуществляется по жесткой схеме:

функция – уравнения – преобразования.

Раскроем методические особенности концепции изучений функций, заложенные в программе.

1. Отказ от формулировки определения функции при первом появлении этого понятия.

Ничего страшного в этом нет, о чем свидетельствует и история математики. Многие математические теории строились, развивались и обогащались все новыми и новыми фактами и приложениями, несмотря на отсутствие определения основного понятия этой теории. Так было в теории пределов (до О. Коши), так было и в теории действительных чисел. Действительными числами оперировали многие века, не имея определения, и лишь в конце XIX века появилось сразу несколько вариантов определения действительного числа (Р. Дедекинд, К. Вейерштрасс, Г. Кантор). Можно строить теорию и при отсутствии определения исходного понятия – во многих случаях это оправдано с методической точки зрения. Определение функции в школе необходимо ввести тогда, когда ученики накопят достаточный опыт в оперировании этим понятием. В данной программе это предусмотрено вначале 9 класса.

2. Постепенное введение в программу свойств функции, подлежащих изучению на различных уровнях строгости.

Перечислим те свойства функции, которые на том или ином уровне изучаются в различных разделах школьного курса алгебры: область определения, наибольшее и наименьшее значения, непрерывность (точки разрыва), монотонность, выпуклость, область значений, четность, периодичность, дифференцируемость, ограниченность, экстремумы.

Учителей, естественно, всегда беспокоят 3 вопроса:

- каким из этих понятий нужно дать в школе точное определение, а какие достаточно описать на наглядно-интуитивном уровне;

- как и когда давать то или иное определение;

- если точное определение вводится позже первичного использования понятия, то каковы пропедевтика и динамика развития соответствующего понятия?

Главная методическая ошибка – появление указанных свойств функций в более или менее полном объеме практически одновременно. Не следует забывать, что в реальной жизни употребление определенных терминов в речи со смутным их пониманием часто предшествует полноценному пониманию. Поэтому автор считает не только возможным, но и полезным употребление школьниками, начиная с 7 класса таких, например, терминов, как непрерывность функции, наибольшее и наименьшее значение функции, без знания строгих математических определений этих понятий. В 8 классе на таком же наглядно-интуитивном уровне вводится понятие выпуклости и ограниченности функции.

Почему автор считает необходимым готовить базу для введения формальных определений? С его точки зрения, принципиальная трудность заключается в том, что неокрепший мозг ученика не в состоянии осмыслить наличие в одном определении двух кванторов: квантора общности («для всех», «для каждого», «для любого») и квантора существования («существуют», «для некоторого») – в рамках одного предложения. «Существует» и «для любого» - это для него в определенном смысле противоречащие друг другу ситуации. Опыт показывает, что «двухкванторные определения» трудны для восприятия школьников, поэтому важна опережающая формальное определение опора на наглядность. В такой ситуации работают оба полушария головного мозга ученика: правое, отвечающее за образы, и левое, отвечающее за формально-логическое мышление. Вводя понятия наименьшего (наибольшего) значения функции в 7 классе, а понятия ограниченности функции - в 8 классе, используются как раз геометрические образы. Например, ограниченность сверху трактуется геометрически так: весь график расположен ниже некоторой прямой. В последнем предложении фактически имеются оба квантора – весь  график ниже некоторой прямой. Однако геометрическая иллюстрация помогает учащемуся преодолеть логические трудности. Вот так постепенно ум его «в порядок приводит».

Рассмотрим следующую таблицу, в которой рассматривается уровень строгости введения свойств функции. В таблице приняты следующие условные обозначения:

Н – соответствующее свойство функции вводится на наглядно-интуитивном уровне;

Р - свойство функции изучается на рабочем уровне, на уровне словесного описания;

Ф – формальное определение свойства.

 

класс свойство	7	8	9	10
Область определения Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке Монотонность Непрерывность Ограниченность Выпуклость Область значений Четность Периодичность Дифференцируемость Экстремумы	Н Н Н Н - - - - - - -	Р Р Ф Н Н, Р Н Р - - - -	Ф Ф Ф Н Ф Н Ф Ф - - -	Ф Ф Ф Р, Ф Ф Н Ф Ф Ф Н Ф

 

3. Система упражнений, универсальных при изучении любого класса функций:

ü графическое решение уравнений;

ü отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке;

ü преобразование графиков;

ü функциональная символика;

ü кусочные функции;

ü чтение графика.

Эти блоки позволяют изучение рассматриваемой математической модели – функции – сделать понятной, красивой и привычной. Создается эффект предсказуемости деятельности учащихся на уроке, что делает совместную деятельность учителя и ученика на уроке достаточно комфортной.

Рассмотрим методические особенности каждого из этих направлений.

1). Графическое решение уравнений.

Автор считает, что данный способ решения уравнений должен быть первым и одним из самых главных при решении уравнений любых типов. Неудобства, связанные с применением графического метода, как правило, и создают ту проблемную ситуацию, которая приводит к необходимости отыскания алгоритмов аналитическим способов решения уравнения.

Графический способ приводит ученика к ситуации, когда график функции строится не ради графика, а для решения другой задачи – для решения уравнения. График функции является не целью, а средством, помогающим решить уравнение. В данных учебных пособиях графический способ решения уравнений предшествует аналитическим способам.

2). Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке.

Начиная с 7 класса, учащимся предлагаются задания такого типа: найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х + 3 на отрезке . Для этого необходимо построить график линейной функции у = 2х + 3, выделить часть графика на отрезке  и по графику найти наибольшее и наименьшее значения функции. В данной ситуации график нужен не сам по себе, а является средством для выполнения предложенного задания.

       3). Преобразование графиков.

       В 8 классе в теоретическом плане изучаются 2 преобразования: параллельный перенос – построение графика функции  с помощью известного графика функции  и построение графика функции . В 9 классе учащиеся знакомятся еще с одним преобразованием: растяжением графика, т.е построением графика функции  по известному графику .

       4). Функциональная символика.

       Как только в 7 классе появляется запись , учащимся предлагаются задания, нацеленные на осознание смысла этой записи, так как они часто не могут исследовать, например, функцию на четность не потому, что не знают определения четности, а потому, что не понимают смысла записи . Поэтому автор считает полезным включать в задачники задания следующего типа: для функции , где , найти и т. д.

       5). Кусочные функции.

       Для правильного формирования у учащихся как самого понятия функции, так и представления о методологической сущности этого понятия, полезно рассматривать кусочные функции, то есть функции, заданные различными формулами на разных промежутках области определения. Во многих случаях именно кусочные функции являются математическими моделями реальных ситуаций. Использование кусочных функций готовит как в пропедевтическом, так и в мотивационном плане понятие непрерывности. Использование кусочных функций позволяет учителю сделать систему упражнений более разнообразной (что существенно для поддержания интереса к предмету у учащихся), творческой. Можно отметить и следующий воспитательный момент: воспитание умения принять решение, зависящее от правильной ориентировки в условиях, это и своеобразная эстетика – красота графиков кусочных функций, предложенных автором и самими учениками.

       6) Чтение графиков.

       Очень важно научить учащихся описывать по графику свойства функции, переходить от заданной геометрической модели (графика) к вербальной (словесной). По мере появления свойств функции перевод одного языка на другой становится все богаче, а значит, учащиеся видят, как они постепенно умнеют по мере изучения математики; наличие большого числа свойств функции позволяет сделать процесс чтения графика интересным, разнообразным с литературной точки зрения. У ученика имеется возможность составить довольно четкий «словесный портрет» функции по ее графику.

12345Следующая ⇒

Поделиться: