ОСНОВНЫЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 1-11 КЛАССОВ

(общая концепция)

ЧИСЛА

       Начальная школа. Натуральные числа. Арифметические операции над натуральными числами, их свойства и пользование для рационализации вычислений (на уровне наиболее рационального способа вычисления суммы 37+124+63). Первые представления о признаках делимости и о делении с остатком. Первые представления о дробях (на уровне долей 1/2, 1/3). Сравнение натуральных чисел.

       5 класс. Обобщение представлений о натуральных числах, их свойствах и свойствах арифметических операций. Признаки делимости. Деление с остатком. Обыкновенные и десятичные дроби. Бесконечные периодические десятичные дроби и их связь с обыкновенными дробями. Координатный луч. Первые представления о степени числа (квадрат и куб числа). Первые представления о приближенных вычислениях (округления чисел).

       6 класс. Положительные и отрицательные числа. Множество рациональных чисел. Свойства арифметических операций над рациональными числами. Модуль рационального числа. Отношение порядка во множестве рациональных чисел. Координатная прямая. Числовые промежутки. Степени с натуральными показателями, их свойства.

       7 класс. Алгебраические выражения над множеством рациональных чисел. Степень с нулевым показателем.

8 класс. Обобщение представлений о рациональных числах. Иррациональные числа. Множество действительных чисел. Арифметические операции над действительными числами и их свойства. Числовая прямая. Модуль действительного числа, его свойства и геометрический смысл (  как расстояние на координатной прямой между точками x и a). Числовые неравенства и их свойства. Степень с отрицательным целым показателем. Стандартный вид числа. Приближенные вычисления. Операция извлечения квадратного корня из неотрицательного числа и ее свойства.

       11 класс. Операция извлечения корня n-й степени из числа, степени с рациональными показателями и их свойства. Понятие о степени с иррациональным показателем. Степень с произвольным действительным показателем.

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

       Начальная школа. Первые представления об употреблении букв в математике. Ознакомление с простейшими математическими моделями типа: «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в».

       5-6 классы. Развитие представлений об использовании букв в математике, вычисление значений буквенных выражений (выражений с переменными). Составление математических моделей простейших реальных ситуаций (на уровне линейных уравнений). Знакомство с алгебраическими терминами: алгебраическое выражение, коэффициент, подобные слагаемые.

       7 класс. Одночлены, многочлены, арифметические операции над ними. Разложение многочлена на множители.

       8 класс. Алгебраические дроби. Квадратные корни. Преобразования иррациональных выражений (с квадратными корнями).

       10 класс. Формулы тригонометрии, тригонометрические преобразования.

       11 класс. Корни n-й степени. Степени с рациональными показателями. Преобразования иррациональных выражений. Логарифмы и их свойства. Преобразования показательно-логарифмических выражений.

 

ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

       Начальная школа. Пропедевтика: ознакомление с простейшими зависимостями, заполнение таблиц, составление диаграмм.

       5 класс. Координатный луч. Таблицы, диаграммы.

       6 класс. Координатная плоскость. Построение прямых вида x=a, y=b. Отыскание координат точек и построение точек по заданным координатам. Изображение фигур в координатной плоскости (по заданным координатам точек) Построение точек, симметричным данным в координатной плоскости относительно той или иной оси координат, относительно начала координат.

       7 класс. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Линейная функция и прямая пропорциональность. Функция у=х² и ее график. Кусочные функции, составленные из линейных функций и функции у=х² . Наглядно-интуитивное представление о непрерывных и разрывных функциях. Применение графика функции для отыскания ее наибольшего и наименьшего значений на заданном промежутке. Графическое решение линейных и квадратных уравнений, систем линейных уравнений. Первое знакомство с записью . Упражнения, связанные с отработкой функциональной символики ( типа: найти ). Кусочные функции и их графики.

       8 класс. Изучение функций у=к/х, у=ах² , у=ах² + bx +c, , y= . Параллельный перенос графика. Графическое решение уравнений, графическое решение квадратных неравенств. Отыскание наибольших и наименьших значений функций на заданных промежутках (в основном с помощью графика). Упражнения на отработку функциональной символики. Определение возрастающей и убывающей функции (первое свойство, определенное в курсе алгебры). Новые свойства: ограниченность функции сверху и снизу, выпуклость функции вверх или вниз (геометрическое истолкование). Чтение графика.

       9 класс. Общение накопленных представлений о функциях, их свойствах и графиках. Определение функции, ее области определения и области значений. Способы задания функции (аналитический, графический, словесный). Определение следующих понятий: наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке, ограниченность функции, четность и нечетность. Кусочные функции и их графики. Чтение графика (область определения, область значений, монотонность, непрерывность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения, четность и выпуклость). Функциональная символика. Графическое решение систем уравнений.

       Степенные функции у=х^n, y=x^-n .

       Последовательность как функция натурального аргумента. Прогрессии.

       Числовая окружность. Тригонометрические функции, их свойства и графики (первое знакомство).

       10 класс. Тригонометрические функции. Периодичность.

       Предел последовательности, предал функции. Производная и ее использование для исследования функций на монотонность и экстремумы, для построения графиков функций.

       Первообразная и неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

       11 класс. Функция , степенные функции с рациональным показателем. Показательная и логарифмическая функции, их свойства (включая дифференцирование).

 

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

       Начальная школа. Решение простейших уравнений (типа: 4х=28, х+6=9) на основе зависимостей между компонентами арифметических действий. Первые представления о переводе текстовой задачи на язык уравнений.

       5-6 классы. Линейные уравнения и текстовые задачи, сводящиеся к линейным уравнениям ( на языке математического моделирования: составление математической модели, работа с составленной моделью, осмысление полученного результата применительно к условиям - получение ответа на вопрос задачи ).

       7 класс. Линейные уравнения и текстовые задачи ( постоянное повторение курса 5-6 классов по мере продвижения в материале 7 класса). Системы линейных уравнений с двумя переменными и их использование в качестве математических моделей реальных ситуаций. Методы решения систем: графический, подстановка, алгебраическое сложение. Первые представления о решении квадратных уравнений (методом разложения на множители и графическим методом).

       8 класс. Решение линейных неравенств (на основе свойств числовых неравенств). Квадратные уравнения и неравенства. Рациональные уравнения. Решение текстовых задач. Иррациональные уравнения (с квадратными корнями). Понятие о посторонних корнях и проверке корней о решении уравнений. Первые представления о равносильности уравнений и неравенств. Первые примеры на решение уравнений и неравенств с параметрами.

       9 класс. Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений (графический метод, подстановка, алгебраическое сложение, метод введения новых переменных). Системы уравнений, как математические модели реальных ситуаций.

       10 класс. Тригонометрические уравнения и неравенства.

       11 класс. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы уравнений. Обобщение сведений о решении уравнений, неравенств и систем уравнений. Равносильность уравнений и неравенств. Посторонние корни, потеря корней, проверка. Основные методы решения уравнений: графический, разложение на множители, введение новых переменных, переход от уравнения f(u)=f(v) к уравнению u=v. Системы и совокупности неравенств. Решение неравенств с модулями, иррациональных неравенств. Методы решения систем уравнений.

       Уравнения и неравенства с параметрами (относительно несложные).

 

КОНЦЕПЦИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ

ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

      

Основные положения

1. Математика в школе – не наука и даже не основа науки, а учебный предмет.

Пояснения автора: в учебном предмете не обязательно соблюдать законы науки математики (например, такие: все начинается с аксиом, нельзя начинать изучение теории без строгого определения основного понятия, все утверждения требуется доказывать и т.д.), зачастую более существенны законы педагогики и особенно психологии.

 В связи с этим поговорим об определениях в школьно курсе математики. Наша позиция: сложное математическое понятие (например, функция, равносильность уравнений и т.п.) следует вводить при выполнении двух условий:

1) у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия – опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении (вербальный опыт) и опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях (генетический опыт);

2) у школьников появилась потребность в формальном определении понятия.

В отличии от сложившихся традиций мы не вводим в 7 классе определение функции, хотя работаем с функциями и в 7, и в 8 классах очень много. И только в 9 классе, проанализировав накопленный учащимися опыт в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры 7-8 классов, убеждаем их в том, что у них появилась потребность в формальном определении понятия функции и соответствующих свойств функции.

В учебном предмете, в отличие от науки, мы не обязаны все доказывать. Более того, в ряде случаев правдоподобные рассуждения или толкования, опирающиеся на графические модели, а интуицию, имеют для школьников более весомую общекультурную ценность, чем формальное доказательство. Если формальные доказательства мало поучительны, они заменяются правдоподобными рассуждениями. Мое кредо – больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше опоры на правое полушарие мозга.

2. Математика в школе – предмет не естественно-научный, а гуманитарный.

Пояснения автора: естественным этапом развития познания, на котором осуществляется переход от содержательного и качественного анализа объекта к формализации и количественному анализу, является математическое моделирование реальных процессов. Математическое моделирование – основа происходящей в настоящее время математизации научных знаний. Поэтому одной из основных задач школьного математического образования является ознакомление учащихся с соотношениями между явлениями реального мира и его математическими моделями, практическое их обучение построению математических моделей, объяснение им того, что абстрактная математическая модель, в которой отброшено все несущественное, позволяет глубже понять суть вещей. Реальные процессы математика описывает на особом математическом языке в виде математических моделей. Главное назначение математического языка – способствовать организации деятельности (тогда как основное назначение обыденного языка – служить средством общения), что в наше время очень значимо для культурного человека. Поэтому математический язык и математическая модель – ключевые слова в постепенном развертывании курса, его идейный стержень.

Гуманитарный потенциал школьного курса алгебры мы, во-первых, видим в том, что владение математическим языком и математическим моделированием позволит ученику лучше ориентироваться в природе и обществе; во-вторых, в том, что математика по своей внутренней природе имеет богатые возможности для воспитания его мышления и характера; в-третьих, в реализации в процессе преподавания идей развивающего и проблемного обучения; в-четвертых, в том, что уроки математики (при правильной постановке) способствуют развитию речи обучаемого не в меньшей степени, чем уроки русского языка и литературы.

 

Принципы

1. Принцип крупных блоков (компактное изучение того или иного раздела курса алгебры).

2. Отсутствие тупиковых тем (ни в одном классе ни одна тема не связана ни с предыдущим, ни с последующим материалом).

3. Принцип детерминированности, логической завершенности построения курса (программа курса выстроена так, что темы, как правило, непереставимы, порядок ходов понятен учителю).

4. Принцип завершенности в пределах учебного года (школьный курс алгебры – «пятисерийный (по числу лет изучения курса) роман с продолжением»; в каждом конкретном классе изучается определенная серия, имеющая свою внутреннюю интригу и более-менее законченное содержание).

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: